$$$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int e^{- \frac{x^{2}}{2}}\, dx$$$.

$$$u=\frac{\sqrt{2} x}{2}$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(\frac{\sqrt{2} x}{2}\right)^{\prime }dx = \frac{\sqrt{2}}{2} dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$dx = \sqrt{2} du$$$ elde ederiz.

İntegral şu hale gelir

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\sqrt{2} e^{- u^{2}} d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=\sqrt{2}$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = e^{- u^{2}}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{\sqrt{2} e^{- u^{2}} d u}}} = {\color{red}{\sqrt{2} \int{e^{- u^{2}} d u}}}$$

Bu integralin (Hata Fonksiyonu) kapalı biçimli bir ifadesi yok:

$$\sqrt{2} {\color{red}{\int{e^{- u^{2}} d u}}} = \sqrt{2} {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(u \right)}}{2}\right)}}$$

Hatırlayın ki $$$u=\frac{\sqrt{2} x}{2}$$$:

$$\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left({\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2}\right)}} \right)}}{2}$$

Dolayısıyla,

$$\int{e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2}+C$$

$$$\int e^{- \frac{x^{2}}{2}}\, dx = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2} + C$$$A