$$$\tan{\left(\frac{u}{2} \right)} - 1$$$'in türevi

Toplamın/farkın türevi, türevlerin toplamı/farkıdır:

$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\tan{\left(\frac{u}{2} \right)} - 1\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\tan{\left(\frac{u}{2} \right)}\right) - \frac{d}{du} \left(1\right)\right)}$$

Sabitin türevi $$$0$$$:

$$- {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(1\right)\right)} + \frac{d}{du} \left(\tan{\left(\frac{u}{2} \right)}\right) = - {\color{red}\left(0\right)} + \frac{d}{du} \left(\tan{\left(\frac{u}{2} \right)}\right)$$

$$$\tan{\left(\frac{u}{2} \right)}$$$ fonksiyonu, iki fonksiyon $$$f{\left(v \right)} = \tan{\left(v \right)}$$$ ve $$$g{\left(u \right)} = \frac{u}{2}$$$'nin $$$f{\left(g{\left(u \right)} \right)}$$$ bileşimidir.

Zincir kuralını $$$\frac{d}{du} \left(f{\left(g{\left(u \right)} \right)}\right) = \frac{d}{dv} \left(f{\left(v \right)}\right) \frac{d}{du} \left(g{\left(u \right)}\right)$$$ uygulayın:

$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\tan{\left(\frac{u}{2} \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dv} \left(\tan{\left(v \right)}\right) \frac{d}{du} \left(\frac{u}{2}\right)\right)}$$

Tanjantın türevi $$$\frac{d}{dv} \left(\tan{\left(v \right)}\right) = \sec^{2}{\left(v \right)}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dv} \left(\tan{\left(v \right)}\right)\right)} \frac{d}{du} \left(\frac{u}{2}\right) = {\color{red}\left(\sec^{2}{\left(v \right)}\right)} \frac{d}{du} \left(\frac{u}{2}\right)$$

Eski değişkene geri dön:

$$\sec^{2}{\left({\color{red}\left(v\right)} \right)} \frac{d}{du} \left(\frac{u}{2}\right) = \sec^{2}{\left({\color{red}\left(\frac{u}{2}\right)} \right)} \frac{d}{du} \left(\frac{u}{2}\right)$$

Sabit çarpan kuralını $$$\frac{d}{du} \left(c f{\left(u \right)}\right) = c \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right)$$$ $$$c = \frac{1}{2}$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = u$$$ ile uygula:

$$\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\frac{u}{2}\right)\right)} = \sec^{2}{\left(\frac{u}{2} \right)} {\color{red}\left(\frac{\frac{d}{du} \left(u\right)}{2}\right)}$$

Kuvvet kuralını ($$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$) $$$n = 1$$$ için uygulayın, başka bir deyişle, $$$\frac{d}{du} \left(u\right) = 1$$$:

$$\frac{\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u\right)\right)}}{2} = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} \right)} {\color{red}\left(1\right)}}{2}$$

Sadeleştirin:

$$\frac{\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} \right)}}{2} = \frac{1}{\cos{\left(u \right)} + 1}$$

Dolayısıyla, $$$\frac{d}{du} \left(\tan{\left(\frac{u}{2} \right)} - 1\right) = \frac{1}{\cos{\left(u \right)} + 1}$$$.