|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$$$\tan{\left(\frac{\theta}{2} \right)}$$$'in türevi
İlgili hesaplayıcılar: Logaritmik Türev Hesaplayıcı, Adım Adım Örtük Türev Alma Hesaplayıcısı
Girdiniz
Bulun: $$$\frac{d}{d\theta} \left(\tan{\left(\frac{\theta}{2} \right)}\right)$$$.
Çözüm
$$$\tan{\left(\frac{\theta}{2} \right)}$$$ fonksiyonu, iki fonksiyon $$$f{\left(u \right)} = \tan{\left(u \right)}$$$ ve $$$g{\left(\theta \right)} = \frac{\theta}{2}$$$'nin $$$f{\left(g{\left(\theta \right)} \right)}$$$ bileşimidir.
Zincir kuralını $$$\frac{d}{d\theta} \left(f{\left(g{\left(\theta \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{d\theta} \left(g{\left(\theta \right)}\right)$$$ uygulayın:
$${\color{red}\left(\frac{d}{d\theta} \left(\tan{\left(\frac{\theta}{2} \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\tan{\left(u \right)}\right) \frac{d}{d\theta} \left(\frac{\theta}{2}\right)\right)}$$Tanjantın türevi $$$\frac{d}{du} \left(\tan{\left(u \right)}\right) = \sec^{2}{\left(u \right)}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\tan{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{d\theta} \left(\frac{\theta}{2}\right) = {\color{red}\left(\sec^{2}{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{d\theta} \left(\frac{\theta}{2}\right)$$Eski değişkene geri dön:
$$\sec^{2}{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{d\theta} \left(\frac{\theta}{2}\right) = \sec^{2}{\left({\color{red}\left(\frac{\theta}{2}\right)} \right)} \frac{d}{d\theta} \left(\frac{\theta}{2}\right)$$Sabit çarpan kuralını $$$\frac{d}{d\theta} \left(c f{\left(\theta \right)}\right) = c \frac{d}{d\theta} \left(f{\left(\theta \right)}\right)$$$ $$$c = \frac{1}{2}$$$ ve $$$f{\left(\theta \right)} = \theta$$$ ile uygula:
$$\sec^{2}{\left(\frac{\theta}{2} \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{d\theta} \left(\frac{\theta}{2}\right)\right)} = \sec^{2}{\left(\frac{\theta}{2} \right)} {\color{red}\left(\frac{\frac{d}{d\theta} \left(\theta\right)}{2}\right)}$$Kuvvet kuralını ($$$\frac{d}{d\theta} \left(\theta^{n}\right) = n \theta^{n - 1}$$$) $$$n = 1$$$ için uygulayın, başka bir deyişle, $$$\frac{d}{d\theta} \left(\theta\right) = 1$$$:
$$\frac{\sec^{2}{\left(\frac{\theta}{2} \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{d\theta} \left(\theta\right)\right)}}{2} = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{\theta}{2} \right)} {\color{red}\left(1\right)}}{2}$$Sadeleştirin:
$$\frac{\sec^{2}{\left(\frac{\theta}{2} \right)}}{2} = \frac{1}{\cos{\left(\theta \right)} + 1}$$Dolayısıyla, $$$\frac{d}{d\theta} \left(\tan{\left(\frac{\theta}{2} \right)}\right) = \frac{1}{\cos{\left(\theta \right)} + 1}$$$.
Cevap
$$$\frac{d}{d\theta} \left(\tan{\left(\frac{\theta}{2} \right)}\right) = \frac{1}{\cos{\left(\theta \right)} + 1}$$$A