$$$\sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}$$$'in türevi
İlgili hesaplayıcılar: Logaritmik Türev Hesaplayıcı, Adım Adım Örtük Türev Alma Hesaplayıcısı
Girdiniz
Bulun: $$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}\right)$$$.
Çözüm
$$$\sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}$$$ fonksiyonu, iki fonksiyon $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ ve $$$g{\left(x \right)} = \frac{\pi}{x}$$$'nin $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ bileşimidir.
Zincir kuralını $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ uygulayın:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(\frac{\pi}{x}\right)\right)}$$Sinüsün türevi $$$\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) = \cos{\left(u \right)}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{\pi}{x}\right) = {\color{red}\left(\cos{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{\pi}{x}\right)$$Eski değişkene geri dön:
$$\cos{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{\pi}{x}\right) = \cos{\left({\color{red}\left(\frac{\pi}{x}\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{\pi}{x}\right)$$Sabit çarpan kuralını $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ $$$c = \pi$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$$ ile uygula:
$$\cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{\pi}{x}\right)\right)} = \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} {\color{red}\left(\pi \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)\right)}$$$$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ şeklindeki kuvvet kuralını $$$n = -1$$$ ile uygula:
$$\pi \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)\right)} = \pi \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} {\color{red}\left(- \frac{1}{x^{2}}\right)}$$Dolayısıyla, $$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}\right) = - \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x^{2}}$$$.
Cevap
$$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}\right) = - \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x^{2}}$$$A