|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$$$\ln\left(\sin{\left(x \right)}\right)$$$'in türevi
İlgili hesaplayıcılar: Logaritmik Türev Hesaplayıcı, Adım Adım Örtük Türev Alma Hesaplayıcısı
Girdiniz
Bulun: $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)$$$.
Çözüm
$$$\ln\left(\sin{\left(x \right)}\right)$$$ fonksiyonu, iki fonksiyon $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ ve $$$g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$$$'nin $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ bileşimidir.
Zincir kuralını $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ uygulayın:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)}$$Doğal logaritmanın türevi $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)$$Eski değişkene geri dön:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(\sin{\left(x \right)}\right)}}$$Sinüsün türevi $$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right) = \cos{\left(x \right)}$$$:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)}}{\sin{\left(x \right)}} = \frac{{\color{red}\left(\cos{\left(x \right)}\right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$Sadeleştirin:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$$Dolayısıyla, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\sin{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$$$.
Cevap
$$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\sin{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$$$A