Hiperbol $$$- 4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$$$'in özellikleri

Hiperbol $$$- 4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$$$ için merkezi, odakları, tepe noktaları, yardımcı tepe noktaları, büyük eksen uzunluğu, yarı büyük eksen uzunluğu, küçük eksen uzunluğu, yarı küçük eksen uzunluğu, latera recta, latera recta’nın uzunluğu (odak genişliği), odak parametresi, eksantriklik, doğrusal eksantriklik (odak uzaklığı), doğrultmanlar, asemtotlar, x-kesişimleri, y-kesişimleri, tanım kümesi ve değer kümesini bulun.

Bir hiperbolün denklemi $$$\frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} - \frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} = 1$$$ şeklindedir; burada $$$\left(h, k\right)$$$ merkezdir, $$$a$$$ ve $$$b$$$ ise yarı büyük ve yarı küçük eksenlerin uzunluklarıdır.

Hiperbolümüz bu biçimde $$$\frac{\left(y - 0\right)^{2}}{4} - \frac{\left(x - 0\right)^{2}}{9} = 1$$$ şeklindedir.

Dolayısıyla, $$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 3$$$, $$$b = 2$$$.

Standart biçim $$$\frac{y^{2}}{2^{2}} - \frac{x^{2}}{3^{2}} = 1$$$ şeklindedir.

Tepe noktası biçimi $$$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{9} = 1$$$.

Genel biçim $$$4 x^{2} - 9 y^{2} + 36 = 0$$$ şeklindedir.

Doğrusal dışmerkezlik (odak uzaklığı) $$$c = \sqrt{b^{2} + a^{2}} = \sqrt{13}$$$'dir.

Eksantriklik $$$e = \frac{c}{b} = \frac{\sqrt{13}}{2}$$$.

Birinci odak noktası $$$\left(h, k - c\right) = \left(0, - \sqrt{13}\right)$$$.

İkinci odak $$$\left(h, k + c\right) = \left(0, \sqrt{13}\right)$$$.

İlk köşe $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, -2\right)$$$.

İkinci tepe noktası $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, 2\right)$$$.

İlk yardımcı tepe noktası $$$\left(h - a, k\right) = \left(-3, 0\right)$$$.

İkinci yardımcı tepe noktası $$$\left(h + a, k\right) = \left(3, 0\right)$$$.

Büyük eksenin uzunluğu $$$2 b = 4$$$.

Küçük eksenin uzunluğu $$$2 a = 6$$$.

Odak parametresi, odak ile doğrultman arasındaki uzaklıktır: $$$\frac{a^{2}}{c} = \frac{9 \sqrt{13}}{13}$$$.

Latera recta, küçük eksene paralel ve odaklardan geçen doğrulardır.

Birinci odak kirişi $$$y = - \sqrt{13}$$$.

İkinci odak kirişi $$$y = \sqrt{13}$$$.

İlk latus rectumun uç noktaları $$$\begin{cases} 4 x^{2} - 9 y^{2} + 36 = 0 \\ y = - \sqrt{13} \end{cases}$$$ sistemini çözerek bulunabilir (adımlar için bkz. denklem sistemi hesaplayıcısı).

Birinci latus rectum'un uç noktaları $$$\left(- \frac{9}{2}, - \sqrt{13}\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{2}, - \sqrt{13}\right)$$$.

İkinci latus rectum'un uç noktaları, $$$\begin{cases} 4 x^{2} - 9 y^{2} + 36 = 0 \\ y = \sqrt{13} \end{cases}$$$ sistemini çözerek bulunabilir (adımlar için bkz. denklem sistemi hesaplayıcısı).

İkinci odak kirişinin uç noktaları $$$\left(- \frac{9}{2}, \sqrt{13}\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{2}, \sqrt{13}\right)$$$.

Latera recta’nın (odak genişliğinin) uzunluğu $$$\frac{2 a^{2}}{b} = 9$$$.

Birinci doğrultman $$$y = k - \frac{b^{2}}{c} = - \frac{4 \sqrt{13}}{13}$$$ şeklindedir.

İkinci doğrultman $$$y = k + \frac{b^{2}}{c} = \frac{4 \sqrt{13}}{13}$$$.

Birinci asimptot $$$y = - \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = - \frac{2 x}{3}$$$.

İkinci asimptot $$$y = \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = \frac{2 x}{3}$$$.

x-ekseni kesişimleri, denklemde $$$y = 0$$$ değerini verip $$$x$$$ için çözerek bulunabilir (adımlar için bkz. kesişimler hesaplayıcısı).

Gerçek kök olmadığı için x-eksenini kestiği noktalar yoktur.

y-kesişimleri, denklemde $$$x = 0$$$ alınarak ve $$$y$$$ için çözülerek bulunabilir: (adımlar için bkz. eksen kesim noktaları hesaplayıcısı).

y-eksenini kestiği noktalar: $$$\left(0, -2\right)$$$, $$$\left(0, 2\right)$$$

Standart form/denklem: $$$\frac{y^{2}}{2^{2}} - \frac{x^{2}}{3^{2}} = 1$$$A.

Tepe noktası biçimi/denklemi: $$$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{9} = 1$$$A.

Genel biçim/denklem: $$$4 x^{2} - 9 y^{2} + 36 = 0$$$A.

Birinci odak-doğrultman formu/denklemi: $$$x^{2} + \left(y + \sqrt{13}\right)^{2} = \frac{13 \left(y + \frac{4 \sqrt{13}}{13}\right)^{2}}{4}$$$A.

İkinci odak-doğrultman formu/denklemi: $$$x^{2} + \left(y - \sqrt{13}\right)^{2} = \frac{13 \left(y - \frac{4 \sqrt{13}}{13}\right)^{2}}{4}$$$A.

Grafik: bkz. grafik hesap makinesi.

Merkez: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

Birinci odak: $$$\left(0, - \sqrt{13}\right)\approx \left(0, -3.605551275463989\right)$$$A.

İkinci odak: $$$\left(0, \sqrt{13}\right)\approx \left(0, 3.605551275463989\right)$$$A.

İlk köşe: $$$\left(0, -2\right)$$$A.

İkinci köşe: $$$\left(0, 2\right)$$$A.

İlk yardımcı tepe noktası: $$$\left(-3, 0\right)$$$A.

İkinci yardımcı tepe noktası: $$$\left(3, 0\right)$$$A.

Büyük (transvers) eksen uzunluğu: $$$4$$$A.

Yarı büyük eksen uzunluğu: $$$2$$$A.

Küçük (eşlenik) eksen uzunluğu: $$$6$$$A.

Yarı küçük eksen uzunluğu: $$$3$$$A.

Birinci odak kirişi: $$$y = - \sqrt{13}\approx -3.605551275463989$$$A.

İkinci latus rectum: $$$y = \sqrt{13}\approx 3.605551275463989$$$A.

Birinci latus rectumun uç noktaları: $$$\left(- \frac{9}{2}, - \sqrt{13}\right)\approx \left(-4.5, -3.605551275463989\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{2}, - \sqrt{13}\right)\approx \left(4.5, -3.605551275463989\right)$$$A.

İkinci latus rectumun uç noktaları: $$$\left(- \frac{9}{2}, \sqrt{13}\right)\approx \left(-4.5, 3.605551275463989\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{2}, \sqrt{13}\right)\approx \left(4.5, 3.605551275463989\right)$$$A.

Latera recta uzunluğu (odak genişliği): $$$9$$$A.

Odak parametresi: $$$\frac{9 \sqrt{13}}{13}\approx 2.496150883013531$$$A.

Dış merkezlik: $$$\frac{\sqrt{13}}{2}\approx 1.802775637731995$$$A.

Doğrusal dışmerkezlik (odak uzaklığı): $$$\sqrt{13}\approx 3.605551275463989$$$A.

Birinci doğrultman: $$$y = - \frac{4 \sqrt{13}}{13}\approx -1.109400392450458$$$A.

İkinci doğrultman: $$$y = \frac{4 \sqrt{13}}{13}\approx 1.109400392450458$$$A.

Birinci asimptot: $$$y = - \frac{2 x}{3}\approx - 0.666666666666667 x$$$A.

İkinci asimptot: $$$y = \frac{2 x}{3}\approx 0.666666666666667 x$$$A.

x-kesişimleri: x ekseniyle kesişim yok.

y-kesişimleri: $$$\left(0, -2\right)$$$, $$$\left(0, 2\right)$$$A.

Tanım kümesi: $$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A.

Değer kümesi: $$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[2, \infty\right)$$$A.