Integralen av $$$\frac{x^{2}}{a^{2}}$$$ med avseende på $$$x$$$

Bestäm $$$\int \frac{x^{2}}{a^{2}}\, dx$$$.

Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ med $$$c=\frac{1}{a^{2}}$$$ och $$$f{\left(x \right)} = x^{2}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{x^{2}}{a^{2}} d x}}} = {\color{red}{\frac{\int{x^{2} d x}}{a^{2}}}}$$

Tillämpa potensregeln $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ med $$$n=2$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{x^{2} d x}}}}{a^{2}}=\frac{{\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}}{a^{2}}=\frac{{\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}}{a^{2}}$$

Alltså,

$$\int{\frac{x^{2}}{a^{2}} d x} = \frac{x^{3}}{3 a^{2}}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\frac{x^{2}}{a^{2}} d x} = \frac{x^{3}}{3 a^{2}}+C$$

$$$\int \frac{x^{2}}{a^{2}}\, dx = \frac{x^{3}}{3 a^{2}} + C$$$A