Derivatan av $$$x^{x}$$$
Relaterade kalkylatorer: Kalkylator för logaritmisk derivering, Räknare för implicit derivering med steg
Din inmatning
Bestäm $$$\frac{d}{dx} \left(x^{x}\right)$$$.
Lösning
Använd formeln $$$f^{g{\left(x \right)}}{\left(x \right)} = e^{g{\left(x \right)} \ln\left(f{\left(x \right)}\right)}$$$ med $$$f{\left(x \right)} = x$$$ och $$$g{\left(x \right)} = x$$$ för att omskriva det komplicerade uttrycket:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{x}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{x \ln\left(x\right)}\right)\right)}$$Funktionen $$$e^{x \ln\left(x\right)}$$$ är sammansättningen $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ av två funktioner $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ och $$$g{\left(x \right)} = x \ln\left(x\right)$$$.
Tillämpa kedjeregeln $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{x \ln\left(x\right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right)\right)}$$Derivatan av exponentialfunktionen är $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right) = {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right)$$Återgå till den ursprungliga variabeln:
$$e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right) = e^{{\color{red}\left(x \ln\left(x\right)\right)}} \frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right) = x^{x} \frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right)$$Tillämpa produktregeln $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ med $$$f{\left(x \right)} = x$$$ och $$$g{\left(x \right)} = \ln\left(x\right)$$$:
$$x^{x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right)\right)} = x^{x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) \ln\left(x\right) + x \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)}$$Derivatan av den naturliga logaritmen är $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$:
$$x^{x} \left(x {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} + \ln\left(x\right) \frac{d}{dx} \left(x\right)\right) = x^{x} \left(x {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)} + \ln\left(x\right) \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)$$Tillämpa potensregeln $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ med $$$n = 1$$$, det vill säga $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$x^{x} \left(\ln\left(x\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + 1\right) = x^{x} \left(\ln\left(x\right) {\color{red}\left(1\right)} + 1\right)$$Alltså, $$$\frac{d}{dx} \left(x^{x}\right) = x^{x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)$$$.
Svar
$$$\frac{d}{dx} \left(x^{x}\right) = x^{x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)$$$A