Derivatan av $$$x \left(x - 1\right)$$$
Relaterade kalkylatorer: Kalkylator för logaritmisk derivering, Räknare för implicit derivering med steg
Din inmatning
Bestäm $$$\frac{d}{dx} \left(x \left(x - 1\right)\right)$$$.
Lösning
Tillämpa produktregeln $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ med $$$f{\left(x \right)} = x$$$ och $$$g{\left(x \right)} = x - 1$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x \left(x - 1\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) \left(x - 1\right) + x \frac{d}{dx} \left(x - 1\right)\right)}$$Tillämpa potensregeln $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ med $$$n = 1$$$, det vill säga $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$x \frac{d}{dx} \left(x - 1\right) + \left(x - 1\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = x \frac{d}{dx} \left(x - 1\right) + \left(x - 1\right) {\color{red}\left(1\right)}$$Derivatan av en summa/differens är summan/differensen av derivatorna:
$$x {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x - 1\right)\right)} + x - 1 = x {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) - \frac{d}{dx} \left(1\right)\right)} + x - 1$$Derivatan av en konstant är $$$0$$$:
$$x \left(- {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(x\right)\right) + x - 1 = x \left(- {\color{red}\left(0\right)} + \frac{d}{dx} \left(x\right)\right) + x - 1$$Tillämpa potensregeln $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ med $$$n = 1$$$, det vill säga $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$x {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + x - 1 = x {\color{red}\left(1\right)} + x - 1$$Alltså, $$$\frac{d}{dx} \left(x \left(x - 1\right)\right) = 2 x - 1$$$.
Svar
$$$\frac{d}{dx} \left(x \left(x - 1\right)\right) = 2 x - 1$$$A