|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Derivatan av $$$\sin{\left(\ln\left(x\right) \right)}$$$
Relaterade kalkylatorer: Kalkylator för logaritmisk derivering, Räknare för implicit derivering med steg
Din inmatning
Bestäm $$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(\ln\left(x\right) \right)}\right)$$$.
Lösning
Funktionen $$$\sin{\left(\ln\left(x\right) \right)}$$$ är sammansättningen $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ av två funktioner $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ och $$$g{\left(x \right)} = \ln\left(x\right)$$$.
Tillämpa kedjeregeln $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(\ln\left(x\right) \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)}$$Derivatan av sinus är $$$\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) = \cos{\left(u \right)}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = {\color{red}\left(\cos{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)$$Återgå till den ursprungliga variabeln:
$$\cos{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \cos{\left({\color{red}\left(\ln\left(x\right)\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)$$Derivatan av den naturliga logaritmen är $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$:
$$\cos{\left(\ln\left(x\right) \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} = \cos{\left(\ln\left(x\right) \right)} {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)}$$Alltså, $$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(\ln\left(x\right) \right)}\right) = \frac{\cos{\left(\ln\left(x\right) \right)}}{x}$$$.
Svar
$$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(\ln\left(x\right) \right)}\right) = \frac{\cos{\left(\ln\left(x\right) \right)}}{x}$$$A