|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Derivatan av $$$\ln\left(2 u\right)$$$
Relaterade kalkylatorer: Kalkylator för logaritmisk derivering, Räknare för implicit derivering med steg
Din inmatning
Bestäm $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(2 u\right)\right)$$$.
Lösning
Funktionen $$$\ln\left(2 u\right)$$$ är sammansättningen $$$f{\left(g{\left(u \right)} \right)}$$$ av två funktioner $$$f{\left(v \right)} = \ln\left(v\right)$$$ och $$$g{\left(u \right)} = 2 u$$$.
Tillämpa kedjeregeln $$$\frac{d}{du} \left(f{\left(g{\left(u \right)} \right)}\right) = \frac{d}{dv} \left(f{\left(v \right)}\right) \frac{d}{du} \left(g{\left(u \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(2 u\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dv} \left(\ln\left(v\right)\right) \frac{d}{du} \left(2 u\right)\right)}$$Derivatan av den naturliga logaritmen är $$$\frac{d}{dv} \left(\ln\left(v\right)\right) = \frac{1}{v}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dv} \left(\ln\left(v\right)\right)\right)} \frac{d}{du} \left(2 u\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{v}\right)} \frac{d}{du} \left(2 u\right)$$Återgå till den ursprungliga variabeln:
$$\frac{\frac{d}{du} \left(2 u\right)}{{\color{red}\left(v\right)}} = \frac{\frac{d}{du} \left(2 u\right)}{{\color{red}\left(2 u\right)}}$$Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\frac{d}{du} \left(c f{\left(u \right)}\right) = c \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right)$$$ med $$$c = 2$$$ och $$$f{\left(u \right)} = u$$$:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(2 u\right)\right)}}{2 u} = \frac{{\color{red}\left(2 \frac{d}{du} \left(u\right)\right)}}{2 u}$$Tillämpa potensregeln $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$ med $$$n = 1$$$, det vill säga $$$\frac{d}{du} \left(u\right) = 1$$$:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u\right)\right)}}{u} = \frac{{\color{red}\left(1\right)}}{u}$$Alltså, $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(2 u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$.
Svar
$$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(2 u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$A