Derivatan av $$$\ln\left(-1 + \frac{1}{x}\right)$$$

Funktionen $$$\ln\left(-1 + \frac{1}{x}\right)$$$ är sammansättningen $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ av två funktioner $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ och $$$g{\left(x \right)} = -1 + \frac{1}{x}$$$.

Tillämpa kedjeregeln $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(-1 + \frac{1}{x}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(-1 + \frac{1}{x}\right)\right)}$$

Derivatan av den naturliga logaritmen är $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(-1 + \frac{1}{x}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(-1 + \frac{1}{x}\right)$$

Återgå till den ursprungliga variabeln:

$$\frac{\frac{d}{dx} \left(-1 + \frac{1}{x}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(-1 + \frac{1}{x}\right)}{{\color{red}\left(-1 + \frac{1}{x}\right)}}$$

Derivatan av en summa/differens är summan/differensen av derivatorna:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(-1 + \frac{1}{x}\right)\right)}}{-1 + \frac{1}{x}} = \frac{{\color{red}\left(- \frac{d}{dx} \left(1\right) + \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)\right)}}{-1 + \frac{1}{x}}$$

Tillämpa potensregeln $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ med $$$n = -1$$$:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)\right)} - \frac{d}{dx} \left(1\right)}{-1 + \frac{1}{x}} = \frac{{\color{red}\left(- \frac{1}{x^{2}}\right)} - \frac{d}{dx} \left(1\right)}{-1 + \frac{1}{x}}$$

Derivatan av en konstant är $$$0$$$:

$$\frac{- {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right)\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{-1 + \frac{1}{x}} = \frac{- {\color{red}\left(0\right)} - \frac{1}{x^{2}}}{-1 + \frac{1}{x}}$$

Förenkla:

$$- \frac{1}{x^{2} \left(-1 + \frac{1}{x}\right)} = \frac{1}{x \left(x - 1\right)}$$

Alltså, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(-1 + \frac{1}{x}\right)\right) = \frac{1}{x \left(x - 1\right)}$$$.