|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Derivatan av $$$e^{x y z}$$$ med avseende på $$$z$$$
Relaterade kalkylatorer: Kalkylator för logaritmisk derivering, Räknare för implicit derivering med steg
Din inmatning
Bestäm $$$\frac{d}{dz} \left(e^{x y z}\right)$$$.
Lösning
Funktionen $$$e^{x y z}$$$ är sammansättningen $$$f{\left(g{\left(z \right)} \right)}$$$ av två funktioner $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ och $$$g{\left(z \right)} = x y z$$$.
Tillämpa kedjeregeln $$$\frac{d}{dz} \left(f{\left(g{\left(z \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dz} \left(g{\left(z \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(e^{x y z}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dz} \left(x y z\right)\right)}$$Derivatan av exponentialfunktionen är $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dz} \left(x y z\right) = {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dz} \left(x y z\right)$$Återgå till den ursprungliga variabeln:
$$e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dz} \left(x y z\right) = e^{{\color{red}\left(x y z\right)}} \frac{d}{dz} \left(x y z\right)$$Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\frac{d}{dz} \left(c f{\left(z \right)}\right) = c \frac{d}{dz} \left(f{\left(z \right)}\right)$$$ med $$$c = x y$$$ och $$$f{\left(z \right)} = z$$$:
$$e^{x y z} {\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(x y z\right)\right)} = e^{x y z} {\color{red}\left(x y \frac{d}{dz} \left(z\right)\right)}$$Tillämpa potensregeln $$$\frac{d}{dz} \left(z^{n}\right) = n z^{n - 1}$$$ med $$$n = 1$$$, det vill säga $$$\frac{d}{dz} \left(z\right) = 1$$$:
$$x y e^{x y z} {\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(z\right)\right)} = x y e^{x y z} {\color{red}\left(1\right)}$$Alltså, $$$\frac{d}{dz} \left(e^{x y z}\right) = x y e^{x y z}$$$.
Svar
$$$\frac{d}{dz} \left(e^{x y z}\right) = x y e^{x y z}$$$A