|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Derivatan av $$$e^{a x}$$$ med avseende på $$$x$$$
Relaterade kalkylatorer: Kalkylator för logaritmisk derivering, Räknare för implicit derivering med steg
Din inmatning
Bestäm $$$\frac{d}{dx} \left(e^{a x}\right)$$$.
Lösning
Funktionen $$$e^{a x}$$$ är sammansättningen $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ av två funktioner $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ och $$$g{\left(x \right)} = a x$$$.
Tillämpa kedjeregeln $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{a x}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(a x\right)\right)}$$Derivatan av exponentialfunktionen är $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(a x\right) = {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(a x\right)$$Återgå till den ursprungliga variabeln:
$$e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dx} \left(a x\right) = e^{{\color{red}\left(a x\right)}} \frac{d}{dx} \left(a x\right)$$Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ med $$$c = a$$$ och $$$f{\left(x \right)} = x$$$:
$$e^{a x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(a x\right)\right)} = e^{a x} {\color{red}\left(a \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$Tillämpa potensregeln $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ med $$$n = 1$$$, det vill säga $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$a e^{a x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = a e^{a x} {\color{red}\left(1\right)}$$Alltså, $$$\frac{d}{dx} \left(e^{a x}\right) = a e^{a x}$$$.
Svar
$$$\frac{d}{dx} \left(e^{a x}\right) = a e^{a x}$$$A