|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Derivatan av $$$e^{2 t}$$$
Relaterade kalkylatorer: Kalkylator för logaritmisk derivering, Räknare för implicit derivering med steg
Din inmatning
Bestäm $$$\frac{d}{dt} \left(e^{2 t}\right)$$$.
Lösning
Funktionen $$$e^{2 t}$$$ är sammansättningen $$$f{\left(g{\left(t \right)} \right)}$$$ av två funktioner $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ och $$$g{\left(t \right)} = 2 t$$$.
Tillämpa kedjeregeln $$$\frac{d}{dt} \left(f{\left(g{\left(t \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dt} \left(g{\left(t \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(e^{2 t}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dt} \left(2 t\right)\right)}$$Derivatan av exponentialfunktionen är $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dt} \left(2 t\right) = {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dt} \left(2 t\right)$$Återgå till den ursprungliga variabeln:
$$e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dt} \left(2 t\right) = e^{{\color{red}\left(2 t\right)}} \frac{d}{dt} \left(2 t\right)$$Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\frac{d}{dt} \left(c f{\left(t \right)}\right) = c \frac{d}{dt} \left(f{\left(t \right)}\right)$$$ med $$$c = 2$$$ och $$$f{\left(t \right)} = t$$$:
$$e^{2 t} {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(2 t\right)\right)} = e^{2 t} {\color{red}\left(2 \frac{d}{dt} \left(t\right)\right)}$$Tillämpa potensregeln $$$\frac{d}{dt} \left(t^{n}\right) = n t^{n - 1}$$$ med $$$n = 1$$$, det vill säga $$$\frac{d}{dt} \left(t\right) = 1$$$:
$$2 e^{2 t} {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(t\right)\right)} = 2 e^{2 t} {\color{red}\left(1\right)}$$Alltså, $$$\frac{d}{dt} \left(e^{2 t}\right) = 2 e^{2 t}$$$.
Svar
$$$\frac{d}{dt} \left(e^{2 t}\right) = 2 e^{2 t}$$$A