Derivatan av $$$\cos{\left(e^{t} \right)}$$$
Relaterade kalkylatorer: Kalkylator för logaritmisk derivering, Räknare för implicit derivering med steg
Din inmatning
Bestäm $$$\frac{d}{dt} \left(\cos{\left(e^{t} \right)}\right)$$$.
Lösning
Funktionen $$$\cos{\left(e^{t} \right)}$$$ är sammansättningen $$$f{\left(g{\left(t \right)} \right)}$$$ av två funktioner $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ och $$$g{\left(t \right)} = e^{t}$$$.
Tillämpa kedjeregeln $$$\frac{d}{dt} \left(f{\left(g{\left(t \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dt} \left(g{\left(t \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(\cos{\left(e^{t} \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dt} \left(e^{t}\right)\right)}$$Derivatan av cosinus är $$$\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right) = - \sin{\left(u \right)}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dt} \left(e^{t}\right) = {\color{red}\left(- \sin{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dt} \left(e^{t}\right)$$Återgå till den ursprungliga variabeln:
$$- \sin{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dt} \left(e^{t}\right) = - \sin{\left({\color{red}\left(e^{t}\right)} \right)} \frac{d}{dt} \left(e^{t}\right)$$Derivatan av exponentialfunktionen är $$$\frac{d}{dt} \left(e^{t}\right) = e^{t}$$$:
$$- \sin{\left(e^{t} \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(e^{t}\right)\right)} = - \sin{\left(e^{t} \right)} {\color{red}\left(e^{t}\right)}$$Alltså, $$$\frac{d}{dt} \left(\cos{\left(e^{t} \right)}\right) = - e^{t} \sin{\left(e^{t} \right)}$$$.
Svar
$$$\frac{d}{dt} \left(\cos{\left(e^{t} \right)}\right) = - e^{t} \sin{\left(e^{t} \right)}$$$A