$$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]}$$$

Encontre $$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]}$$$.

Primeiro, diagonalize a matriz (para ver os passos, consulte calculadora de diagonalização de matrizes).

Como a matriz não é diagonalizável, escreva-a como a soma da matriz diagonal $$$D = \left[\begin{array}{cc}t & 0\\0 & t\end{array}\right]$$$ e da matriz nilpotente $$$N = \left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right]$$$.

Observe que $$$N^{2} = \left[\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$.

Isso significa que $$$e^{N} = I + N$$$, ou seja, $$$e^{\left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & - t\\0 & 1\end{array}\right].$$$

A exponencial de uma matriz diagonal é uma matriz cujas entradas na diagonal são exponenciadas: $$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & 0\\0 & t\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}e^{t} & 0\\0 & e^{t}\end{array}\right].$$$

Agora, $$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]} = e^{\left[\begin{array}{cc}t & 0\\0 & t\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right]} = e^{\left[\begin{array}{cc}t & 0\\0 & t\end{array}\right]}\cdot e^{\left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}e^{t} & 0\\0 & e^{t}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & - t\\0 & 1\end{array}\right].$$$

Por fim, multiplique as matrizes:

$$$\left[\begin{array}{cc}e^{t} & 0\\0 & e^{t}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & - t\\0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}e^{t} & - t e^{t}\\0 & e^{t}\end{array}\right]$$$ (para o passo a passo, veja calculadora de multiplicação de matrizes).

$$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}e^{t} & - t e^{t}\\0 & e^{t}\end{array}\right]$$$A