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Calculadora de Decomposição LU

Encontre a fatoração LU de uma matriz passo a passo

A calculadora encontrará (se possível) a decomposição LU da matriz dada $$$A$$$ , ou seja, uma matriz triangular inferior $$$L$$$ e uma matriz triangular superior $$$U$$$ que $$$A=LU$$$ , com as etapas mostradas.

No caso de pivotamento parcial (é necessária a permutação de linhas), a calculadora também encontrará a matriz de permutação $$$P$$$ tal que $$$PA=LU$$$.

Calculadora relacionada: Calculadora de fatoração QR

$$$\times$$$

Se a calculadora não calculou algo ou você identificou um erro, ou tem uma sugestão/comentário, escreva nos comentários abaixo.

Sua entrada

Encontre a decomposição LU de $$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\3 & -2 & 0\\1 & 5 & 3\end{array}\right]$$$.

Solução

Comece pela matriz identidade $$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$.

Subtraia a linha $$$1$$$ multiplicada por $$$\frac{3}{2}$$$ da linha $$$2$$$: $$$R_{2} = R_{2} - \frac{3 R_{1}}{2}$$$.

$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\1 & 5 & 3\end{array}\right]$$$

Escreva o coeficiente $$$\frac{3}{2}$$$ na matriz $$$L$$$ na linha $$$2$$$, coluna $$$1$$$:

$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Subtraia a linha $$$1$$$ multiplicada por $$$\frac{1}{2}$$$ da linha $$$3$$$: $$$R_{3} = R_{3} - \frac{R_{1}}{2}$$$.

$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2}\end{array}\right]$$$

Escreva o coeficiente $$$\frac{1}{2}$$$ na matriz $$$L$$$ na linha $$$3$$$, coluna $$$1$$$:

$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Adicione a linha $$$2$$$ multiplicada por $$$\frac{3}{25}$$$ à linha $$$3$$$: $$$R_{3} = R_{3} + \frac{3 R_{2}}{25}$$$.

$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & 0 & \frac{58}{25}\end{array}\right]$$$

Escreva o coeficiente $$$- \frac{3}{25}$$$ na matriz $$$L$$$ na linha $$$3$$$, coluna $$$2$$$:

$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & - \frac{3}{25} & 1\end{array}\right]$$$

A matriz obtida é a matriz $$$U$$$.

Responder

$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & - \frac{3}{25} & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\1.5 & 1 & 0\\0.5 & -0.12 & 1\end{array}\right]$$$A

$$$U = \left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & 0 & \frac{58}{25}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & -12.5 & -1.5\\0 & 0 & 2.32\end{array}\right]$$$A