Calculadora de descomposición LU
Encuentra la factorización LU de una matriz paso a paso
La calculadora encontrará (si es posible) la descomposición LU de la matriz dada $$$A$$$, es decir, una matriz triangular inferior $$$L$$$ y una matriz triangular superior $$$U$$$ tales que $$$A=LU$$$, con los pasos mostrados.
En caso de pivoteo parcial (es necesaria la permutación de filas), la calculadora también encontrará la matriz de permutación $$$P$$$ tal que $$$PA=LU$$$.
Calculadora relacionada: Calculadora de descomposición QR
Tu entrada
Encuentra la descomposición LU de $$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\3 & -2 & 0\\1 & 5 & 3\end{array}\right]$$$.
Solución
Comience a partir de la matriz identidad $$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$.
Resta a la fila $$$2$$$ la fila $$$1$$$ multiplicada por $$$\frac{3}{2}$$$: $$$R_{2} = R_{2} - \frac{3 R_{1}}{2}$$$.
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\1 & 5 & 3\end{array}\right]$$$
Escriba el coeficiente $$$\frac{3}{2}$$$ en la matriz $$$L$$$ en la fila $$$2$$$, columna $$$1$$$:
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$
Resta a la fila $$$3$$$ la fila $$$1$$$ multiplicada por $$$\frac{1}{2}$$$: $$$R_{3} = R_{3} - \frac{R_{1}}{2}$$$.
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2}\end{array}\right]$$$
Escriba el coeficiente $$$\frac{1}{2}$$$ en la matriz $$$L$$$ en la fila $$$3$$$, columna $$$1$$$:
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & 0 & 1\end{array}\right]$$$
Suma la fila $$$2$$$ multiplicada por $$$\frac{3}{25}$$$ a la fila $$$3$$$: $$$R_{3} = R_{3} + \frac{3 R_{2}}{25}$$$.
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & 0 & \frac{58}{25}\end{array}\right]$$$
Escriba el coeficiente $$$- \frac{3}{25}$$$ en la matriz $$$L$$$ en la fila $$$3$$$, columna $$$2$$$:
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & - \frac{3}{25} & 1\end{array}\right]$$$
La matriz obtenida es la matriz $$$U$$$.
Respuesta
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & - \frac{3}{25} & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\1.5 & 1 & 0\\0.5 & -0.12 & 1\end{array}\right]$$$A
$$$U = \left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & 0 & \frac{58}{25}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & -12.5 & -1.5\\0 & 0 & 2.32\end{array}\right]$$$A