Inversa de $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right]$$$

Calcule $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right]^{-1}$$$ usando a eliminação de Gauss-Jordan.

Para encontrar a matriz inversa, forme a matriz aumentada com a matriz identidade e efetue operações elementares nas linhas de modo a obter a matriz identidade à esquerda. Então, à direita estará a matriz inversa.

Então, aumente a matriz com a matriz identidade:

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 2 & 1 & 0\\3 & 4 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Subtraia a linha $$$1$$$ multiplicada por $$$3$$$ da linha $$$2$$$: $$$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 2 & 1 & 0\\0 & -2 & -3 & 1\end{array}\right]$$$

Divida a linha $$$2$$$ por $$$-2$$$: $$$R_{2} = - \frac{R_{2}}{2}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 2 & 1 & 0\\0 & 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$

Subtraia a linha $$$2$$$ multiplicada por $$$2$$$ da linha $$$1$$$: $$$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & -2 & 1\\0 & 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$

Terminamos. À esquerda está a matriz identidade. À direita está a matriz inversa.

A matriz inversa é $$$\left[\begin{array}{cc}-2 & 1\\\frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-2 & 1\\1.5 & -0.5\end{array}\right].$$$A