Inversa de $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1\\2 & 3 & 4\\3 & 1 & 1\end{array}\right]$$$

Calcule $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1\\2 & 3 & 4\\3 & 1 & 1\end{array}\right]^{-1}$$$ usando a eliminação de Gauss-Jordan.

Para encontrar a matriz inversa, forme a matriz aumentada com a matriz identidade e efetue operações elementares nas linhas de modo a obter a matriz identidade à esquerda. Então, à direita estará a matriz inversa.

Então, aumente a matriz com a matriz identidade:

$$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\2 & 3 & 4 & 0 & 1 & 0\\3 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Subtraia a linha $$$1$$$ multiplicada por $$$2$$$ da linha $$$2$$$: $$$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$$$.

$$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 2 & -2 & 1 & 0\\3 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Subtraia a linha $$$1$$$ multiplicada por $$$3$$$ da linha $$$3$$$: $$$R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$$$.

$$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 2 & -2 & 1 & 0\\0 & -2 & -2 & -3 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Subtraia a linha $$$2$$$ da linha $$$1$$$: $$$R_{1} = R_{1} - R_{2}$$$.

$$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & -1 & 3 & -1 & 0\\0 & 1 & 2 & -2 & 1 & 0\\0 & -2 & -2 & -3 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Adicione a linha $$$2$$$ multiplicada por $$$2$$$ à linha $$$3$$$: $$$R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}$$$.

$$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & -1 & 3 & -1 & 0\\0 & 1 & 2 & -2 & 1 & 0\\0 & 0 & 2 & -7 & 2 & 1\end{array}\right]$$$

Divida a linha $$$3$$$ por $$$2$$$: $$$R_{3} = \frac{R_{3}}{2}$$$.

$$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & -1 & 3 & -1 & 0\\0 & 1 & 2 & -2 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & - \frac{7}{2} & 1 & \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$

Adicione a linha $$$3$$$ à linha $$$1$$$: $$$R_{1} = R_{1} + R_{3}$$$.

$$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\\0 & 1 & 2 & -2 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & - \frac{7}{2} & 1 & \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$

Subtraia a linha $$$3$$$ multiplicada por $$$2$$$ da linha $$$2$$$: $$$R_{2} = R_{2} - 2 R_{3}$$$.

$$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\\0 & 1 & 0 & 5 & -1 & -1\\0 & 0 & 1 & - \frac{7}{2} & 1 & \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$

Terminamos. À esquerda está a matriz identidade. À direita está a matriz inversa.

A matriz inversa é $$$\left[\begin{array}{ccc}- \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\\5 & -1 & -1\\- \frac{7}{2} & 1 & \frac{1}{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-0.5 & 0 & 0.5\\5 & -1 & -1\\-3.5 & 1 & 0.5\end{array}\right].$$$A