Autovalores e autovetores de $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3} & 0\\0 & \frac{1}{3}\end{array}\right]$$$

Encontre os autovalores e os autovetores de $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3} & 0\\0 & \frac{1}{3}\end{array}\right]$$$.

Comece por formar uma nova matriz, subtraindo $$$\lambda$$$ dos elementos diagonais da matriz dada: $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3} - \lambda & 0\\0 & \frac{1}{3} - \lambda\end{array}\right]$$$.

O determinante da matriz obtida é $$$\left(\frac{1}{3} - \lambda\right) \left(\frac{2}{3} - \lambda\right)$$$ (para ver os passos, consulte calculadora de determinante).

Resolva a equação $$$\left(\frac{1}{3} - \lambda\right) \left(\frac{2}{3} - \lambda\right) = 0$$$.

As raízes são $$$\lambda_{1} = \frac{2}{3}$$$, $$$\lambda_{2} = \frac{1}{3}$$$ (para as etapas, veja equation solver).

Estes são os autovalores.

Em seguida, encontre os autovetores.

• $$$\lambda = \frac{2}{3}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3} - \lambda & 0\\0 & \frac{1}{3} - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & - \frac{1}{3}\end{array}\right]$$$

  O espaço nulo desta matriz é $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]\right\}$$$ (para ver os passos, consulte calculadora do espaço nulo).

  Este é o autovetor.

• $$$\lambda = \frac{1}{3}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3} - \lambda & 0\\0 & \frac{1}{3} - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$

  O espaço nulo desta matriz é $$$\left\{\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para ver os passos, consulte calculadora do espaço nulo).

  Este é o autovetor.

Autovalor: $$$\frac{2}{3}\approx 0.666666666666667$$$A, multiplicidade: $$$1$$$A, autovetor: $$$\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]$$$A.

Autovalor: $$$\frac{1}{3}\approx 0.333333333333333$$$A, multiplicidade: $$$1$$$A, autovetor: $$$\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]$$$A.