Autovalores e autovetores de $$$\left[\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & 1\end{array}\right]$$$

Encontre os autovalores e os autovetores de $$$\left[\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & 1\end{array}\right]$$$.

Comece por formar uma nova matriz, subtraindo $$$\lambda$$$ dos elementos diagonais da matriz dada: $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & 1 - \lambda\end{array}\right]$$$.

O determinante da matriz obtida é $$$\lambda^{2} - 2 \lambda + \frac{24}{25}$$$ (para ver os passos, consulte calculadora de determinante).

Resolva a equação $$$\lambda^{2} - 2 \lambda + \frac{24}{25} = 0$$$.

As raízes são $$$\lambda_{1} = \frac{6}{5}$$$, $$$\lambda_{2} = \frac{4}{5}$$$ (para as etapas, veja equation solver).

Estes são os autovalores.

Em seguida, encontre os autovetores.

• $$$\lambda = \frac{6}{5}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & 1 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}- \frac{1}{5} & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & - \frac{1}{5}\end{array}\right]$$$

  O espaço nulo desta matriz é $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para ver os passos, consulte calculadora do espaço nulo).

  Este é o autovetor.

• $$$\lambda = \frac{4}{5}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & 1 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{5} & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right]$$$

  O espaço nulo desta matriz é $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para ver os passos, consulte calculadora do espaço nulo).

  Este é o autovetor.

Autovalor: $$$\frac{6}{5} = 1.2$$$A, multiplicidade: $$$1$$$A, autovetor: $$$\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]$$$A.

Autovalor: $$$\frac{4}{5} = 0.8$$$A, multiplicidade: $$$1$$$A, autovetor: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$A.