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Calculadora da Matriz Jacobiana

Calcular o jacobiano passo a passo

A calculadora encontrará a matriz jacobiana do conjunto de funções e o determinante jacobiano (se possível), mostrando as etapas.

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Calcule a matriz jacobiana de $$$\left\{x = r \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}, y = r \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\right\}$$$.

Solução

A matriz jacobiana é definida da seguinte forma: $$$J{\left(x,y \right)}\left(\eta, r\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial \eta} & \frac{\partial x}{\partial r}\\\frac{\partial y}{\partial \eta} & \frac{\partial y}{\partial r}\end{array}\right].$$$

No nosso caso, $$$J{\left(x,y \right)}\left(\eta, r\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial}{\partial \eta} \left(r \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial r} \left(r \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\right)\\\frac{\partial}{\partial \eta} \left(r \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial r} \left(r \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\right)\end{array}\right].$$$

Encontre as derivadas (para os passos, veja calculadora de derivadas): $$$J{\left(x,y \right)}\left(\eta, r\right) = \left[\begin{array}{cc}- r \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)} \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)} & \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\\r \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)} \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)} & \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\end{array}\right]$$$

O determinante jacobiano é o determinante da matriz jacobiana: $$$\left|\begin{array}{cc}- r \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)} \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)} & \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\\r \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)} \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)} & \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\end{array}\right| = - r \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)}$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de determinante).

Resposta

A matriz Jacobiana é $$$\left[\begin{array}{cc}- r \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)} \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)} & \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\\r \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)} \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)} & \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\end{array}\right].$$$A

O determinante jacobiano é $$$- r \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)}$$$A.