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Calculadora jacobiana

Calcular jacobiano paso a paso

La calculadora encontrará la matriz jacobiana del conjunto de funciones y el determinante jacobiano (si es posible), con los pasos que se muestran.

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Deje vacío para la detección automática o especifique variables como x,y (separadas por comas).

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Tu aportación

Calcula el jacobiano de $$$\left\{x = r \cos{\left(\theta \right)}, y = r \sin{\left(\theta \right)}\right\}$$$.

Solución

La matriz jacobiana se define de la siguiente manera: $$$J{\left(x,y \right)}\left(r, \theta\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta}\\\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}\end{array}\right].$$$

En nuestro caso, $$$J{\left(x,y \right)}\left(r, \theta\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial}{\partial r} \left(r \cos{\left(\theta \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial \theta} \left(r \cos{\left(\theta \right)}\right)\\\frac{\partial}{\partial r} \left(r \sin{\left(\theta \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial \theta} \left(r \sin{\left(\theta \right)}\right)\end{array}\right].$$$

Encuentre las derivadas (para conocer los pasos, consulte calculadora de derivadas): $$$J{\left(x,y \right)}\left(r, \theta\right) = \left[\begin{array}{cc}\cos{\left(\theta \right)} & - r \sin{\left(\theta \right)}\\\sin{\left(\theta \right)} & r \cos{\left(\theta \right)}\end{array}\right].$$$

El determinante jacobiano es el determinante de la matriz jacobiana: $$$\left|\begin{array}{cc}\cos{\left(\theta \right)} & - r \sin{\left(\theta \right)}\\\sin{\left(\theta \right)} & r \cos{\left(\theta \right)}\end{array}\right| = r$$$ (para conocer los pasos, consulte calculadora de determinantes).

Respuesta

La matriz jacobiana es $$$\left[\begin{array}{cc}\cos{\left(\theta \right)} & - r \sin{\left(\theta \right)}\\\sin{\left(\theta \right)} & r \cos{\left(\theta \right)}\end{array}\right]$$$A.

El determinante jacobiano es $$$r$$$A.