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Calculadora do Rotacional

Calcular o rotacional passo a passo

A calculadora encontrará o rotacional do campo vetorial dado, com as etapas mostradas.

Calculadoras relacionadas: Calculadora de Derivadas Parciais, Calculadora de Produto Vetorial, Calculadora de determinante de matriz

$$$\langle$$$
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$$$\rangle$$$
$$$($$$
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Deixe em branco se você não precisar do rotacional em um ponto específico.

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Sua entrada

Calcule $$$\operatorname{curl} \left\langle \cos{\left(x y \right)}, e^{x y z}, \sin{\left(x y \right)}\right\rangle$$$.

Solução

Por definição, $$$\operatorname{curl} \left\langle \cos{\left(x y \right)}, e^{x y z}, \sin{\left(x y \right)}\right\rangle = \nabla\times \left\langle \cos{\left(x y \right)}, e^{x y z}, \sin{\left(x y \right)}\right\rangle$$$, ou, de forma equivalente, $$$\operatorname{curl} \left\langle \cos{\left(x y \right)}, e^{x y z}, \sin{\left(x y \right)}\right\rangle = \left|\begin{array}{ccc}\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}}\\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\\cos{\left(x y \right)} & e^{x y z} & \sin{\left(x y \right)}\end{array}\right|$$$, onde $$$\times$$$ é o operador do produto vetorial.

Logo, $$$\operatorname{curl} \left\langle \cos{\left(x y \right)}, e^{x y z}, \sin{\left(x y \right)}\right\rangle = \left\langle \frac{\partial}{\partial y} \left(\sin{\left(x y \right)}\right) - \frac{\partial}{\partial z} \left(e^{x y z}\right), \frac{\partial}{\partial z} \left(\cos{\left(x y \right)}\right) - \frac{\partial}{\partial x} \left(\sin{\left(x y \right)}\right), \frac{\partial}{\partial x} \left(e^{x y z}\right) - \frac{\partial}{\partial y} \left(\cos{\left(x y \right)}\right)\right\rangle.$$$

Encontre as derivadas parciais:

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\sin{\left(x y \right)}\right) = x \cos{\left(x y \right)}$$$ (para ver os passos, veja a calculadora de derivadas.)

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(e^{x y z}\right) = x y e^{x y z}$$$ (para ver os passos, veja a calculadora de derivadas.)

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(\cos{\left(x y \right)}\right) = 0$$$ (para ver os passos, veja a calculadora de derivadas.)

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\sin{\left(x y \right)}\right) = y \cos{\left(x y \right)}$$$ (para ver os passos, veja a calculadora de derivadas.)

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(e^{x y z}\right) = y z e^{x y z}$$$ (para ver os passos, veja a calculadora de derivadas.)

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\cos{\left(x y \right)}\right) = - x \sin{\left(x y \right)}$$$ (para ver os passos, veja a calculadora de derivadas.)

Agora, basta substituir as derivadas parciais encontradas para obter o rotacional: $$$\operatorname{curl} \left\langle \cos{\left(x y \right)}, e^{x y z}, \sin{\left(x y \right)}\right\rangle = \left\langle x \left(- y e^{x y z} + \cos{\left(x y \right)}\right), - y \cos{\left(x y \right)}, x \sin{\left(x y \right)} + y z e^{x y z}\right\rangle$$$

Resposta

$$$\operatorname{curl} \left\langle \cos{\left(x y \right)}, e^{x y z}, \sin{\left(x y \right)}\right\rangle = \left\langle x \left(- y e^{x y z} + \cos{\left(x y \right)}\right), - y \cos{\left(x y \right)}, x \sin{\left(x y \right)} + y z e^{x y z}\right\rangle$$$A