Aproxime $$$\int\limits_{0}^{\pi} \sin{\left(x^{2} \right)}\, dx$$$ com $$$n = 5$$$ usando a aproximação de ponto final correto

Aproxime a integral $$$\int\limits_{0}^{\pi} \sin{\left(x^{2} \right)}\, dx$$$ com $$$n = 5$$$ usando a aproximação do ponto final correto.

A soma de Riemann à direita (também conhecida como aproximação do ponto final direito) usa o ponto final direito de um subintervalo para calcular a altura do retângulo de aproximação:

$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)} + f{\left(x_{3} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-1} \right)} + f{\left(x_{n} \right)}\right)$$$

onde $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.

Temos que $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x^{2} \right)}$$$, $$$a = 0$$$, $$$b = \pi$$$ e $$$n = 5$$$.

Portanto, $$$\Delta x = \frac{\pi - 0}{5} = \frac{\pi}{5}$$$.

Divida o intervalo $$$\left[0, \pi\right]$$$ em $$$n = 5$$$ subintervalos de comprimento $$$\Delta x = \frac{\pi}{5}$$$ com os seguintes pontos finais: $$$a = 0$$$, $$$\frac{\pi}{5}$$$, $$$\frac{2 \pi}{5}$$$, $$$\frac{3 \pi}{5}$$$, $$$\frac{4 \pi}{5}$$$, $$$\pi = b$$$.

Agora, apenas avalie a função nas extremidades corretas dos subintervalos.

$$$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{\pi}{5} \right)} = \sin{\left(\frac{\pi^{2}}{25} \right)}\approx 0.384608975077325$$$

$$$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(\frac{2 \pi}{5} \right)} = \sin{\left(\frac{4 \pi^{2}}{25} \right)}\approx 0.999965219254203$$$

$$$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{3 \pi}{5} \right)} = \sin{\left(\frac{9 \pi^{2}}{25} \right)}\approx -0.399952418334562$$$

$$$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(\frac{4 \pi}{5} \right)} = \sin{\left(\frac{16 \pi^{2}}{25} \right)}\approx 0.033355321355804$$$

$$$f{\left(x_{5} \right)} = f{\left(\pi \right)} = \sin{\left(\pi^{2} \right)}\approx -0.430301217000092$$$

Por fim, basta somar os valores acima e multiplicar por $$$\Delta x = \frac{\pi}{5}$$$: $$$\frac{\pi}{5} \left(0.384608975077325 + 0.999965219254203 - 0.399952418334562 + 0.033355321355804 - 0.430301217000092\right) = 0.369247645681578.$$$

$$$\int\limits_{0}^{\pi} \sin{\left(x^{2} \right)}\, dx\approx 0.369247645681578$$$A