Aproxime $$$\int\limits_{0}^{1} e^{- x^{2}}\, dx$$$ com $$$n = 4$$$ usando a aproximação de ponto final correto

Aproxime a integral $$$\int\limits_{0}^{1} e^{- x^{2}}\, dx$$$ com $$$n = 4$$$ usando a aproximação do ponto final correto.

A soma de Riemann à direita (também conhecida como aproximação do ponto final direito) usa o ponto final direito de um subintervalo para calcular a altura do retângulo de aproximação:

$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)} + f{\left(x_{3} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-1} \right)} + f{\left(x_{n} \right)}\right)$$$

onde $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.

Temos que $$$f{\left(x \right)} = e^{- x^{2}}$$$, $$$a = 0$$$, $$$b = 1$$$ e $$$n = 4$$$.

Portanto, $$$\Delta x = \frac{1 - 0}{4} = \frac{1}{4}$$$.

Divida o intervalo $$$\left[0, 1\right]$$$ em $$$n = 4$$$ subintervalos de comprimento $$$\Delta x = \frac{1}{4}$$$ com os seguintes pontos finais: $$$a = 0$$$, $$$\frac{1}{4}$$$, $$$\frac{1}{2}$$$, $$$\frac{3}{4}$$$, $$$1 = b$$$.

Agora, apenas avalie a função nas extremidades corretas dos subintervalos.

$$$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{1}{4} \right)} = e^{- \frac{1}{16}}\approx 0.939413062813476$$$

$$$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(\frac{1}{2} \right)} = e^{- \frac{1}{4}}\approx 0.778800783071405$$$

$$$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{3}{4} \right)} = e^{- \frac{9}{16}}\approx 0.569782824730923$$$

$$$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(1 \right)} = e^{-1}\approx 0.367879441171442$$$

Por fim, basta somar os valores acima e multiplicar por $$$\Delta x = \frac{1}{4}$$$: $$$\frac{1}{4} \left(0.939413062813476 + 0.778800783071405 + 0.569782824730923 + 0.367879441171442\right) = 0.663969027946811.$$$

$$$\int\limits_{0}^{1} e^{- x^{2}}\, dx\approx 0.663969027946811$$$A