Aproxime $$$\int\limits_{0}^{4} x^{2}\, dx$$$ com $$$n = 4$$$ usando a regra do ponto médio

A calculadora aproximará a integral de $$$x^{2}$$$ de $$$0$$$ a $$$4$$$ com $$$n = 4$$$ subintervalos usando a regra do ponto médio, com as etapas mostradas.

Calculadora relacionada: Calculadora de regra de ponto médio para uma tabela

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Aproxime a integral $$$\int\limits_{0}^{4} x^{2}\, dx$$$ com $$$n = 4$$$ usando a regra do ponto médio.

Solução

A regra do ponto médio (também conhecida como aproximação do ponto médio) usa o ponto médio de um subintervalo para calcular a altura do retângulo de aproximação:

$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)}+\dots+f{\left(\frac{x_{n-2} + x_{n-1}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{n-1} + x_{n}}{2} \right)}\right)$$$

onde $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.

Temos que $$$f{\left(x \right)} = x^{2}$$$, $$$a = 0$$$, $$$b = 4$$$ e $$$n = 4$$$.

Portanto, $$$\Delta x = \frac{4 - 0}{4} = 1$$$.

Divida o intervalo $$$\left[0, 4\right]$$$ em $$$n = 4$$$ subintervalos de comprimento $$$\Delta x = 1$$$ com os seguintes pontos finais: $$$a = 0$$$, $$$1$$$, $$$2$$$, $$$3$$$, $$$4 = b$$$.

Agora, basta calcular a função nos pontos médios dos subintervalos.

$$$f{\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2} \right)} = f{\left(\frac{0 + 1}{2} \right)} = f{\left(\frac{1}{2} \right)} = \frac{1}{4} = 0.25$$$

$$$f{\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{1 + 2}{2} \right)} = f{\left(\frac{3}{2} \right)} = \frac{9}{4} = 2.25$$$

$$$f{\left(\frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)} = f{\left(\frac{2 + 3}{2} \right)} = f{\left(\frac{5}{2} \right)} = \frac{25}{4} = 6.25$$$

$$$f{\left(\frac{x_{3} + x_{4}}{2} \right)} = f{\left(\frac{3 + 4}{2} \right)} = f{\left(\frac{7}{2} \right)} = \frac{49}{4} = 12.25$$$

Por fim, basta somar os valores acima e multiplicar por $$$\Delta x = 1$$$: $$$1 \left(0.25 + 2.25 + 6.25 + 12.25\right) = 21$$$.

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$$$\int\limits_{0}^{4} x^{2}\, dx\approx 21$$$A