Aproxime $$$\int\limits_{0}^{2} e^{- 5 x^{2}}\, dx$$$ com $$$n = 4$$$ usando a regra do ponto médio

Aproxime a integral $$$\int\limits_{0}^{2} e^{- 5 x^{2}}\, dx$$$ com $$$n = 4$$$ usando a regra do ponto médio.

A regra do ponto médio (também conhecida como aproximação do ponto médio) usa o ponto médio de um subintervalo para calcular a altura do retângulo de aproximação:

$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)}+\dots+f{\left(\frac{x_{n-2} + x_{n-1}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{n-1} + x_{n}}{2} \right)}\right)$$$

onde $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.

Temos que $$$f{\left(x \right)} = e^{- 5 x^{2}}$$$, $$$a = 0$$$, $$$b = 2$$$ e $$$n = 4$$$.

Portanto, $$$\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = \frac{1}{2}$$$.

Divida o intervalo $$$\left[0, 2\right]$$$ em $$$n = 4$$$ subintervalos de comprimento $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$ com os seguintes pontos finais: $$$a = 0$$$, $$$\frac{1}{2}$$$, $$$1$$$, $$$\frac{3}{2}$$$, $$$2 = b$$$.

Agora, basta calcular a função nos pontos médios dos subintervalos.

$$$f{\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2} \right)} = f{\left(\frac{0 + \frac{1}{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{1}{4} \right)} = e^{- \frac{5}{16}}\approx 0.731615628946642$$$

$$$f{\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{\frac{1}{2} + 1}{2} \right)} = f{\left(\frac{3}{4} \right)} = e^{- \frac{45}{16}}\approx 0.060054667895308$$$

$$$f{\left(\frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)} = f{\left(\frac{1 + \frac{3}{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{5}{4} \right)} = e^{- \frac{125}{16}}\approx 0.000404645169326$$$

$$$f{\left(\frac{x_{3} + x_{4}}{2} \right)} = f{\left(\frac{\frac{3}{2} + 2}{2} \right)} = f{\left(\frac{7}{4} \right)} = e^{- \frac{245}{16}}\approx 2.23802919 \cdot 10^{-7}$$$

Por fim, basta somar os valores acima e multiplicar por $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$: $$$\frac{1}{2} \left(0.731615628946642 + 0.060054667895308 + 0.000404645169326 + 2.23802919 \cdot 10^{-7}\right) = 0.396037582907098.$$$

$$$\int\limits_{0}^{2} e^{- 5 x^{2}}\, dx\approx 0.396037582907098$$$A