Aproxime $$$\int\limits_{-1}^{1} 4 x^{3} e^{- x}\, dx$$$ com $$$n = 7$$$ usando a aproximação do ponto final esquerdo

Aproxime a integral $$$\int\limits_{-1}^{1} 4 x^{3} e^{- x}\, dx$$$ com $$$n = 7$$$ usando a aproximação do ponto final esquerdo.

A soma de Riemann à esquerda (também conhecida como aproximação do ponto final esquerdo) usa o ponto final esquerdo de um subintervalo para calcular a altura do retângulo de aproximação:

$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{0} \right)} + f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-2} \right)} + f{\left(x_{n-1} \right)}\right)$$$

onde $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.

Temos que $$$f{\left(x \right)} = 4 x^{3} e^{- x}$$$, $$$a = -1$$$, $$$b = 1$$$ e $$$n = 7$$$.

Portanto, $$$\Delta x = \frac{1 - \left(-1\right)}{7} = \frac{2}{7}$$$.

Divida o intervalo $$$\left[-1, 1\right]$$$ em $$$n = 7$$$ subintervalos de comprimento $$$\Delta x = \frac{2}{7}$$$ com os seguintes pontos finais: $$$a = -1$$$, $$$- \frac{5}{7}$$$, $$$- \frac{3}{7}$$$, $$$- \frac{1}{7}$$$, $$$\frac{1}{7}$$$, $$$\frac{3}{7}$$$, $$$\frac{5}{7}$$$, $$$1 = b$$$.

Agora, apenas avalie a função nas extremidades esquerdas dos subintervalos.

$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(-1 \right)} = - 4 e\approx -10.873127313836181$$$

$$$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(- \frac{5}{7} \right)} = - \frac{500 e^{\frac{5}{7}}}{343}\approx -2.977736254032277$$$

$$$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(- \frac{3}{7} \right)} = - \frac{108 e^{\frac{3}{7}}}{343}\approx -0.483343454809221$$$

$$$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(- \frac{1}{7} \right)} = - \frac{4 e^{\frac{1}{7}}}{343}\approx -0.013452653001692$$$

$$$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(\frac{1}{7} \right)} = \frac{4}{343 e^{\frac{1}{7}}}\approx 0.010109363262393$$$

$$$f{\left(x_{5} \right)} = f{\left(\frac{3}{7} \right)} = \frac{108}{343 e^{\frac{3}{7}}}\approx 0.205117837356717$$$

$$$f{\left(x_{6} \right)} = f{\left(\frac{5}{7} \right)} = \frac{500}{343 e^{\frac{5}{7}}}\approx 0.713617579529086$$$

Por fim, basta somar os valores acima e multiplicar por $$$\Delta x = \frac{2}{7}$$$: $$$\frac{2}{7} \left(-10.873127313836181 - 2.977736254032277 - 0.483343454809221 - 0.013452653001692 + 0.010109363262393 + 0.205117837356717 + 0.713617579529086\right) = -3.833947113008907.$$$

$$$\int\limits_{-1}^{1} 4 x^{3} e^{- x}\, dx\approx -3.833947113008907$$$A