Integral de $$$\frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x}$$$ em relação a $$$x$$$

Encontre $$$\int \frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x}\, dx$$$.

Aplique a regra do múltiplo constante $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ usando $$$c=k$$$ e $$$f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x} d x}}} = {\color{red}{k \int{\frac{\sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x} d x}}}$$

Seja $$$u=\frac{x}{k}$$$.

Então $$$du=\left(\frac{x}{k}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{k}$$$ (veja os passos »), e obtemos $$$dx = k du$$$.

Portanto,

$$k {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x} d x}}} = k {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}}$$

Esta integral (Integral seno) não possui forma fechada:

$$k {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}} = k {\color{red}{\operatorname{Si}{\left(u \right)}}}$$

Recorde que $$$u=\frac{x}{k}$$$:

$$k \operatorname{Si}{\left({\color{red}{u}} \right)} = k \operatorname{Si}{\left({\color{red}{\frac{x}{k}}} \right)}$$

Portanto,

$$\int{\frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x} d x} = k \operatorname{Si}{\left(\frac{x}{k} \right)}$$

Adicione a constante de integração:

$$\int{\frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x} d x} = k \operatorname{Si}{\left(\frac{x}{k} \right)}+C$$

$$$\int \frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x}\, dx = k \operatorname{Si}{\left(\frac{x}{k} \right)} + C$$$A