Integral de $$$\frac{1}{x^{2} \ln\left(x\right)}$$$

Encontre $$$\int \frac{1}{x^{2} \ln\left(x\right)}\, dx$$$.

Seja $$$u=\frac{1}{x}$$$.

Então $$$du=\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime }dx = - \frac{1}{x^{2}} dx$$$ (veja os passos »), e obtemos $$$\frac{dx}{x^{2}} = - du$$$.

A integral torna-se

$${\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2} \ln{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\ln{\left(u \right)}} d u}}}$$

Esta integral (Integral logarítmica) não possui forma fechada:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\ln{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\operatorname{li}{\left(u \right)}}}$$

Recorde que $$$u=\frac{1}{x}$$$:

$$\operatorname{li}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \operatorname{li}{\left({\color{red}{\frac{1}{x}}} \right)}$$

Portanto,

$$\int{\frac{1}{x^{2} \ln{\left(x \right)}} d x} = \operatorname{li}{\left(\frac{1}{x} \right)}$$

Adicione a constante de integração:

$$\int{\frac{1}{x^{2} \ln{\left(x \right)}} d x} = \operatorname{li}{\left(\frac{1}{x} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{x^{2} \ln\left(x\right)}\, dx = \operatorname{li}{\left(\frac{1}{x} \right)} + C$$$A