Integral de $$$t e^{- t}$$$

Encontre $$$\int t e^{- t}\, dt$$$.

Para a integral $$$\int{t e^{- t} d t}$$$, use integração por partes $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Sejam $$$\operatorname{u}=t$$$ e $$$\operatorname{dv}=e^{- t} dt$$$.

Então $$$\operatorname{du}=\left(t\right)^{\prime }dt=1 dt$$$ (os passos podem ser vistos ») e $$$\operatorname{v}=\int{e^{- t} d t}=- e^{- t}$$$ (os passos podem ser vistos »).

A integral pode ser reescrita como

$${\color{red}{\int{t e^{- t} d t}}}={\color{red}{\left(t \cdot \left(- e^{- t}\right)-\int{\left(- e^{- t}\right) \cdot 1 d t}\right)}}={\color{red}{\left(- t e^{- t} - \int{\left(- e^{- t}\right)d t}\right)}}$$

Aplique a regra do múltiplo constante $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ usando $$$c=-1$$$ e $$$f{\left(t \right)} = e^{- t}$$$:

$$- t e^{- t} - {\color{red}{\int{\left(- e^{- t}\right)d t}}} = - t e^{- t} - {\color{red}{\left(- \int{e^{- t} d t}\right)}}$$

Seja $$$u=- t$$$.

Então $$$du=\left(- t\right)^{\prime }dt = - dt$$$ (veja os passos »), e obtemos $$$dt = - du$$$.

A integral torna-se

$$- t e^{- t} + {\color{red}{\int{e^{- t} d t}}} = - t e^{- t} + {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

Aplique a regra do múltiplo constante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ usando $$$c=-1$$$ e $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$$- t e^{- t} + {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = - t e^{- t} + {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

A integral da função exponencial é $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- t e^{- t} - {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - t e^{- t} - {\color{red}{e^{u}}}$$

Recorde que $$$u=- t$$$:

$$- t e^{- t} - e^{{\color{red}{u}}} = - t e^{- t} - e^{{\color{red}{\left(- t\right)}}}$$

Portanto,

$$\int{t e^{- t} d t} = - t e^{- t} - e^{- t}$$

Simplifique:

$$\int{t e^{- t} d t} = \left(- t - 1\right) e^{- t}$$

Adicione a constante de integração:

$$\int{t e^{- t} d t} = \left(- t - 1\right) e^{- t}+C$$

$$$\int t e^{- t}\, dt = \left(- t - 1\right) e^{- t} + C$$$A