Integral de $$$e^{- \frac{x}{a}}$$$ em relação a $$$x$$$

Encontre $$$\int e^{- \frac{x}{a}}\, dx$$$.

Seja $$$u=- \frac{x}{a}$$$.

Então $$$du=\left(- \frac{x}{a}\right)^{\prime }dx = - \frac{1}{a} dx$$$ (veja os passos »), e obtemos $$$dx = - a du$$$.

Logo,

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{x}{a}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- a e^{u}\right)d u}}}$$

Aplique a regra do múltiplo constante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ usando $$$c=- a$$$ e $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- a e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- a \int{e^{u} d u}\right)}}$$

A integral da função exponencial é $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- a {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - a {\color{red}{e^{u}}}$$

Recorde que $$$u=- \frac{x}{a}$$$:

$$- a e^{{\color{red}{u}}} = - a e^{{\color{red}{\left(- \frac{x}{a}\right)}}}$$

Portanto,

$$\int{e^{- \frac{x}{a}} d x} = - a e^{- \frac{x}{a}}$$

Adicione a constante de integração:

$$\int{e^{- \frac{x}{a}} d x} = - a e^{- \frac{x}{a}}+C$$

$$$\int e^{- \frac{x}{a}}\, dx = - a e^{- \frac{x}{a}} + C$$$A