Integral de $$$\cos{\left(\frac{u}{v} \right)}$$$ em relação a $$$u$$$

Encontre $$$\int \cos{\left(\frac{u}{v} \right)}\, du$$$.

Seja $$$w=\frac{u}{v}$$$.

Então $$$dw=\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime }du = \frac{du}{v}$$$ (veja os passos »), e obtemos $$$du = v dw$$$.

A integral pode ser reescrita como

$${\color{red}{\int{\cos{\left(\frac{u}{v} \right)} d u}}} = {\color{red}{\int{v \cos{\left(w \right)} d w}}}$$

Aplique a regra do múltiplo constante $$$\int c f{\left(w \right)}\, dw = c \int f{\left(w \right)}\, dw$$$ usando $$$c=v$$$ e $$$f{\left(w \right)} = \cos{\left(w \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{v \cos{\left(w \right)} d w}}} = {\color{red}{v \int{\cos{\left(w \right)} d w}}}$$

A integral do cosseno é $$$\int{\cos{\left(w \right)} d w} = \sin{\left(w \right)}$$$:

$$v {\color{red}{\int{\cos{\left(w \right)} d w}}} = v {\color{red}{\sin{\left(w \right)}}}$$

Recorde que $$$w=\frac{u}{v}$$$:

$$v \sin{\left({\color{red}{w}} \right)} = v \sin{\left({\color{red}{\frac{u}{v}}} \right)}$$

Portanto,

$$\int{\cos{\left(\frac{u}{v} \right)} d u} = v \sin{\left(\frac{u}{v} \right)}$$

Adicione a constante de integração:

$$\int{\cos{\left(\frac{u}{v} \right)} d u} = v \sin{\left(\frac{u}{v} \right)}+C$$

$$$\int \cos{\left(\frac{u}{v} \right)}\, du = v \sin{\left(\frac{u}{v} \right)} + C$$$A