Integral de $$$4 y e^{- y^{2}}$$$

Encontre $$$\int 4 y e^{- y^{2}}\, dy$$$.

Seja $$$u=- y^{2}$$$.

Então $$$du=\left(- y^{2}\right)^{\prime }dy = - 2 y dy$$$ (veja os passos »), e obtemos $$$y dy = - \frac{du}{2}$$$.

A integral pode ser reescrita como

$${\color{red}{\int{4 y e^{- y^{2}} d y}}} = {\color{red}{\int{\left(- 2 e^{u}\right)d u}}}$$

Aplique a regra do múltiplo constante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ usando $$$c=-2$$$ e $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- 2 e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- 2 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

A integral da função exponencial é $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- 2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

Recorde que $$$u=- y^{2}$$$:

$$- 2 e^{{\color{red}{u}}} = - 2 e^{{\color{red}{\left(- y^{2}\right)}}}$$

Portanto,

$$\int{4 y e^{- y^{2}} d y} = - 2 e^{- y^{2}}$$

Adicione a constante de integração:

$$\int{4 y e^{- y^{2}} d y} = - 2 e^{- y^{2}}+C$$

$$$\int 4 y e^{- y^{2}}\, dy = - 2 e^{- y^{2}} + C$$$A