Integral de $$$4 t e^{t}$$$

Encontre $$$\int 4 t e^{t}\, dt$$$.

Aplique a regra do múltiplo constante $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ usando $$$c=4$$$ e $$$f{\left(t \right)} = t e^{t}$$$:

$${\color{red}{\int{4 t e^{t} d t}}} = {\color{red}{\left(4 \int{t e^{t} d t}\right)}}$$

Para a integral $$$\int{t e^{t} d t}$$$, use integração por partes $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Sejam $$$\operatorname{u}=t$$$ e $$$\operatorname{dv}=e^{t} dt$$$.

Então $$$\operatorname{du}=\left(t\right)^{\prime }dt=1 dt$$$ (os passos podem ser vistos ») e $$$\operatorname{v}=\int{e^{t} d t}=e^{t}$$$ (os passos podem ser vistos »).

Logo,

$$4 {\color{red}{\int{t e^{t} d t}}}=4 {\color{red}{\left(t \cdot e^{t}-\int{e^{t} \cdot 1 d t}\right)}}=4 {\color{red}{\left(t e^{t} - \int{e^{t} d t}\right)}}$$

A integral da função exponencial é $$$\int{e^{t} d t} = e^{t}$$$:

$$4 t e^{t} - 4 {\color{red}{\int{e^{t} d t}}} = 4 t e^{t} - 4 {\color{red}{e^{t}}}$$

Portanto,

$$\int{4 t e^{t} d t} = 4 t e^{t} - 4 e^{t}$$

Simplifique:

$$\int{4 t e^{t} d t} = 4 \left(t - 1\right) e^{t}$$

Adicione a constante de integração:

$$\int{4 t e^{t} d t} = 4 \left(t - 1\right) e^{t}+C$$

$$$\int 4 t e^{t}\, dt = 4 \left(t - 1\right) e^{t} + C$$$A