Integral de $$$\frac{2 i n t}{x^{2} + 1}$$$ em relação a $$$x$$$

Encontre $$$\int \frac{2 i n t}{x^{2} + 1}\, dx$$$.

Aplique a regra do múltiplo constante $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ usando $$$c=2 i n t$$$ e $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} + 1}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{2 i n t}{x^{2} + 1} d x}}} = {\color{red}{\left(2 i n t \int{\frac{1}{x^{2} + 1} d x}\right)}}$$

A integral de $$$\frac{1}{x^{2} + 1}$$$ é $$$\int{\frac{1}{x^{2} + 1} d x} = \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$$:

$$2 i n t {\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2} + 1} d x}}} = 2 i n t {\color{red}{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}}$$

Portanto,

$$\int{\frac{2 i n t}{x^{2} + 1} d x} = 2 i n t \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$

Adicione a constante de integração:

$$\int{\frac{2 i n t}{x^{2} + 1} d x} = 2 i n t \operatorname{atan}{\left(x \right)}+C$$

$$$\int \frac{2 i n t}{x^{2} + 1}\, dx = 2 i n t \operatorname{atan}{\left(x \right)} + C$$$A