Integral de $$$\frac{1}{\ln\left(x^{2}\right)}$$$

Encontre $$$\int \frac{1}{\ln\left(x^{2}\right)}\, dx$$$.

A entrada é reescrita como: $$$\int{\frac{1}{\ln{\left(x^{2} \right)}} d x}=\int{\frac{1}{2 \ln{\left(x \right)}} d x}$$$.

Aplique a regra do múltiplo constante $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ usando $$$c=\frac{1}{2}$$$ e $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{\ln{\left(x \right)}}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 \ln{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{\ln{\left(x \right)}} d x}}{2}\right)}}$$

Esta integral (Integral logarítmica) não possui forma fechada:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\ln{\left(x \right)}} d x}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\operatorname{li}{\left(x \right)}}}}{2}$$

Portanto,

$$\int{\frac{1}{2 \ln{\left(x \right)}} d x} = \frac{\operatorname{li}{\left(x \right)}}{2}$$

Adicione a constante de integração:

$$\int{\frac{1}{2 \ln{\left(x \right)}} d x} = \frac{\operatorname{li}{\left(x \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{1}{\ln\left(x^{2}\right)}\, dx = \frac{\operatorname{li}{\left(x \right)}}{2} + C$$$A