Integral de $$$\frac{1}{- a + t}$$$ em relação a $$$t$$$

Encontre $$$\int \frac{1}{- a + t}\, dt$$$.

Seja $$$u=- a + t$$$.

Então $$$du=\left(- a + t\right)^{\prime }dt = 1 dt$$$ (veja os passos »), e obtemos $$$dt = du$$$.

Portanto,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{- a + t} d t}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

A integral de $$$\frac{1}{u}$$$ é $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Recorde que $$$u=- a + t$$$:

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(- a + t\right)}}}\right| \right)}$$

Portanto,

$$\int{\frac{1}{- a + t} d t} = \ln{\left(\left|{a - t}\right| \right)}$$

Adicione a constante de integração:

$$\int{\frac{1}{- a + t} d t} = \ln{\left(\left|{a - t}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{- a + t}\, dt = \ln\left(\left|{a - t}\right|\right) + C$$$A