Integral de $$$e^{\frac{x}{c}}$$$ em relação a $$$x$$$

Encontre $$$\int e^{\frac{x}{c}}\, dx$$$.

Seja $$$u=\frac{x}{c}$$$.

Então $$$du=\left(\frac{x}{c}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{c}$$$ (veja os passos »), e obtemos $$$dx = c du$$$.

Portanto,

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{c}} d x}}} = {\color{red}{\int{c e^{u} d u}}}$$

Aplique a regra do múltiplo constante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ usando $$$c=c$$$ e $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{c e^{u} d u}}} = {\color{red}{c \int{e^{u} d u}}}$$

A integral da função exponencial é $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$c {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = c {\color{red}{e^{u}}}$$

Recorde que $$$u=\frac{x}{c}$$$:

$$c e^{{\color{red}{u}}} = c e^{{\color{red}{\frac{x}{c}}}}$$

Portanto,

$$\int{e^{\frac{x}{c}} d x} = c e^{\frac{x}{c}}$$

Adicione a constante de integração:

$$\int{e^{\frac{x}{c}} d x} = c e^{\frac{x}{c}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{c}}\, dx = c e^{\frac{x}{c}} + C$$$A