Segunda derivada de $$$\ln\left(x\right)$$$
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Sua entrada
Encontre $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(x\right)\right)$$$.
Solução
Encontre a primeira derivada $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)$$$
A derivada do logaritmo natural é $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)}$$Assim, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$.
Em seguida, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)$$$
Aplique a regra de poder $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ com $$$n = -1$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)\right)} = {\color{red}\left(- \frac{1}{x^{2}}\right)}$$Assim, $$$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right) = - \frac{1}{x^{2}}$$$.
Portanto, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(x\right)\right) = - \frac{1}{x^{2}}$$$.
Responder
$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(x\right)\right) = - \frac{1}{x^{2}}$$$A