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Segunda derivada de $$$\ln\left(3 x\right)$$$

A calculadora encontrará a segunda derivada de $$$\ln\left(3 x\right)$$$, com as etapas mostradas.

Calculadoras relacionadas: Calculadora de Derivativos, Calculadora de diferenciação logarítmica

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Encontre $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(3 x\right)\right)$$$.

Solução

Encontre a primeira derivada $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(3 x\right)\right)$$$

A função $$$\ln\left(3 x\right)$$$ é a composição $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de duas funções $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ e $$$g{\left(x \right)} = 3 x$$$.

Aplique a regra da cadeia $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(3 x\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(3 x\right)\right)}$$

A derivada do logaritmo natural é $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(3 x\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(3 x\right)$$

Volte para a variável antiga:

$$\frac{\frac{d}{dx} \left(3 x\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(3 x\right)}{{\color{red}\left(3 x\right)}}$$

Aplique a regra múltipla constante $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ com $$$c = 3$$$ e $$$f{\left(x \right)} = x$$$:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(3 x\right)\right)}}{3 x} = \frac{{\color{red}\left(3 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}}{3 x}$$

Aplique a regra de potência $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ com $$$n = 1$$$, ou seja, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}}{x} = \frac{{\color{red}\left(1\right)}}{x}$$

Assim, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(3 x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$.

Em seguida, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(3 x\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)$$$

Aplique a regra de poder $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ com $$$n = -1$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)\right)} = {\color{red}\left(- \frac{1}{x^{2}}\right)}$$

Assim, $$$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right) = - \frac{1}{x^{2}}$$$.

Portanto, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(3 x\right)\right) = - \frac{1}{x^{2}}$$$.

Responder

$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(3 x\right)\right) = - \frac{1}{x^{2}}$$$A