Segunda derivada de $$$e^{3 x}$$$
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Encontre $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(e^{3 x}\right)$$$.
Solução
Encontre a primeira derivada $$$\frac{d}{dx} \left(e^{3 x}\right)$$$
A função $$$e^{3 x}$$$ é a composição $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de duas funções $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ e $$$g{\left(x \right)} = 3 x$$$.
Aplique a regra da cadeia $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{3 x}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(3 x\right)\right)}$$A derivada da exponencial é $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(3 x\right) = {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(3 x\right)$$Volte para a variável antiga:
$$e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dx} \left(3 x\right) = e^{{\color{red}\left(3 x\right)}} \frac{d}{dx} \left(3 x\right)$$Aplique a regra múltipla constante $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ com $$$c = 3$$$ e $$$f{\left(x \right)} = x$$$:
$$e^{3 x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(3 x\right)\right)} = e^{3 x} {\color{red}\left(3 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$Aplique a regra de potência $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ com $$$n = 1$$$, ou seja, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$3 e^{3 x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = 3 e^{3 x} {\color{red}\left(1\right)}$$Assim, $$$\frac{d}{dx} \left(e^{3 x}\right) = 3 e^{3 x}$$$.
Em seguida, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(e^{3 x}\right) = \frac{d}{dx} \left(3 e^{3 x}\right)$$$
Aplique a regra múltipla constante $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ com $$$c = 3$$$ e $$$f{\left(x \right)} = e^{3 x}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(3 e^{3 x}\right)\right)} = {\color{red}\left(3 \frac{d}{dx} \left(e^{3 x}\right)\right)}$$A função $$$e^{3 x}$$$ é a composição $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de duas funções $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ e $$$g{\left(x \right)} = 3 x$$$.
Aplique a regra da cadeia $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$$3 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{3 x}\right)\right)} = 3 {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(3 x\right)\right)}$$A derivada da exponencial é $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:
$$3 {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(3 x\right) = 3 {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(3 x\right)$$Volte para a variável antiga:
$$3 e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dx} \left(3 x\right) = 3 e^{{\color{red}\left(3 x\right)}} \frac{d}{dx} \left(3 x\right)$$Aplique a regra múltipla constante $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ com $$$c = 3$$$ e $$$f{\left(x \right)} = x$$$:
$$3 e^{3 x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(3 x\right)\right)} = 3 e^{3 x} {\color{red}\left(3 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$Aplique a regra de potência $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ com $$$n = 1$$$, ou seja, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$9 e^{3 x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = 9 e^{3 x} {\color{red}\left(1\right)}$$Assim, $$$\frac{d}{dx} \left(3 e^{3 x}\right) = 9 e^{3 x}$$$.
Portanto, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(e^{3 x}\right) = 9 e^{3 x}$$$.
Responder
$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(e^{3 x}\right) = 9 e^{3 x}$$$A