Derivada de $$$x^{6 x}$$$

A calculadora encontrará a derivada de $$$x^{6 x}$$$ usando a diferenciação logarítmica, com as etapas mostradas.

Calculadora relacionada: Calculadora de Derivativos

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Encontre $$$\frac{d}{dx} \left(x^{6 x}\right)$$$.

Solução

Seja $$$H{\left(x \right)} = x^{6 x}$$$.

Pegue o logaritmo de ambos os lados: $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x^{6 x}\right)$$$.

Reescreva o RHS usando as propriedades dos logaritmos: $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = 6 x \ln\left(x\right)$$$.

Diferencie separadamente os dois lados da equação: $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(6 x \ln\left(x\right)\right)$$$.

Diferencie o LHS da equação.

A função $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right)$$$ é a composição $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de duas funções $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ e $$$g{\left(x \right)} = H{\left(x \right)}$$$.

Aplique a regra da cadeia $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)\right)}$$

A derivada do logaritmo natural é $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)$$

Volte para a variável antiga:

$$\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(H{\left(x \right)}\right)}}$$

Assim, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}}$$$.

Diferencie o RHS da equação.

Aplique a regra múltipla constante $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ com $$$c = 6$$$ e $$$f{\left(x \right)} = x \ln\left(x\right)$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(6 x \ln\left(x\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(6 \frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right)\right)}$$

Aplique a regra do produto $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ com $$$f{\left(x \right)} = x$$$ e $$$g{\left(x \right)} = \ln\left(x\right)$$$:

$$6 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right)\right)} = 6 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) \ln\left(x\right) + x \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)}$$

Aplique a regra de potência $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ com $$$n = 1$$$, ou seja, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:

$$6 x \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) + 6 \ln\left(x\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = 6 x \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) + 6 \ln\left(x\right) {\color{red}\left(1\right)}$$

A derivada do logaritmo natural é $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$:

$$6 x {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} + 6 \ln\left(x\right) = 6 x {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)} + 6 \ln\left(x\right)$$

Assim, $$$\frac{d}{dx} \left(6 x \ln\left(x\right)\right) = 6 \ln\left(x\right) + 6$$$.

Portanto, $$$\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}} = 6 \ln\left(x\right) + 6$$$.

Portanto, $$$\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = \left(6 \ln\left(x\right) + 6\right) H{\left(x \right)} = 6 x^{6 x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)$$$.

Responder

$$$\frac{d}{dx} \left(x^{6 x}\right) = 6 x^{6 x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)$$$A