SVD van $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]$$$

Bepaal de SVD van $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]$$$.

Bepaal de getransponeerde van de matrix: $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]^{T} = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\\\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\end{array}\right]$$$ (voor de stappen, zie matrix transpose calculator).

Vermenigvuldig de matrix met zijn getransponeerde: $$$W = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\\\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$ (voor de stappen, zie calculator voor matrixvermenigvuldiging).

Bepaal nu de eigenwaarden en eigenvectoren van $$$W$$$ (voor de stappen, zie rekenmachine voor eigenwaarden en eigenvectoren).

Eigenwaarde: $$$1$$$, eigenvector: $$$\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]$$$.

Eigenwaarde: $$$0$$$, eigenvector: $$$\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]$$$.

Bepaal de vierkantswortels van de niet-nul eigenwaarden ($$$\sigma_{i}$$$):

$$$\sigma_{1} = 1$$$

De matrix $$$\Sigma$$$ is een nulmatrix met $$$\sigma_{i}$$$ op de hoofddiagonaal: $$$\Sigma = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$.

De kolommen van de matrix $$$U$$$ zijn de genormaliseerde (eenheids)vectoren: $$$U = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right]$$$ (voor de stappen bij het bepalen van een eenheidsvector, zie unit vector calculator).

Nu, $$$v_{i} = \frac{1}{\sigma_{i}}\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]^{T}\cdot u_{i}$$$:

$$$v_{1} = \frac{1}{\sigma_{1}}\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right]^{T}\cdot u_{1} = \frac{1}{1}\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\\\frac{\sqrt{2}}{2} & 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$$ (voor de stappen, zie rekenmachine voor scalaire vermenigvuldiging van matrices en rekenmachine voor matrixvermenigvuldiging).

Omdat we geen niet-nul $$$\sigma_{i}$$$ meer hebben en we nog één vector nodig hebben, vind een vector die orthogonaal is aan alle gevonden vectoren door de nulruimte te bepalen van de matrix waarvan de rijen de gevonden vectoren zijn: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$ (voor de stappen, zie nulruimtecalculator).

Normaliseer de vector: deze wordt $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$$, (voor de stappen, zie eenheidsvector-calculator).

Daarom geldt $$$V = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$$.

De matrices $$$U$$$, $$$\Sigma$$$ en $$$V$$$ zijn zodanig dat de oorspronkelijke matrix $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\0 & 0\end{array}\right] = U \Sigma V^T$$$.

$$$U = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right]$$$A

$$$\Sigma = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$A

$$$V = \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.707106781186548 & -0.707106781186548\\0.707106781186548 & 0.707106781186548\end{array}\right]$$$A