|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Trapeziumregel-rekenmachine voor een functie
Benader een integraal (gegeven door een functie) met behulp van de trapeziumregel stap voor stap
De rekenmachine zal de integraal benaderen met behulp van de trapeziumregel, waarbij de stappen worden getoond.
Gerelateerde rekenmachine: Trapeziumregel-rekenmachine voor een tabel
Uw invoer
Benader de integraal $$$\int\limits_{0}^{1} \sqrt{\sin^{3}{\left(x \right)} + 1}\, dx$$$ met $$$n = 5$$$ volgens de trapeziumregel.
Oplossing
De trapeziumregel gebruikt trapezia om de oppervlakte te benaderen:
$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \frac{\Delta x}{2} \left(f{\left(x_{0} \right)} + 2 f{\left(x_{1} \right)} + 2 f{\left(x_{2} \right)} + 2 f{\left(x_{3} \right)}+\dots+2 f{\left(x_{n-2} \right)} + 2 f{\left(x_{n-1} \right)} + f{\left(x_{n} \right)}\right)$$$
waarbij $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.
We hebben dat $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\sin^{3}{\left(x \right)} + 1}$$$, $$$a = 0$$$, $$$b = 1$$$ en $$$n = 5$$$.
Daarom geldt $$$\Delta x = \frac{1 - 0}{5} = \frac{1}{5}$$$.
Verdeel het interval $$$\left[0, 1\right]$$$ in $$$n = 5$$$ deelintervallen van lengte $$$\Delta x = \frac{1}{5}$$$ met de volgende eindpunten: $$$a = 0$$$, $$$\frac{1}{5}$$$, $$$\frac{2}{5}$$$, $$$\frac{3}{5}$$$, $$$\frac{4}{5}$$$, $$$1 = b$$$.
Evalueer de functie nu bij deze eindpunten.
$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = 1$$$
$$$2 f{\left(x_{1} \right)} = 2 f{\left(\frac{1}{5} \right)} = 2 \sqrt{\sin^{3}{\left(\frac{1}{5} \right)} + 1}\approx 2.007826067912793$$$
$$$2 f{\left(x_{2} \right)} = 2 f{\left(\frac{2}{5} \right)} = 2 \sqrt{\sin^{3}{\left(\frac{2}{5} \right)} + 1}\approx 2.058206972332648$$$
$$$2 f{\left(x_{3} \right)} = 2 f{\left(\frac{3}{5} \right)} = 2 \sqrt{\sin^{3}{\left(\frac{3}{5} \right)} + 1}\approx 2.17257446116512$$$
$$$2 f{\left(x_{4} \right)} = 2 f{\left(\frac{4}{5} \right)} = 2 \sqrt{\sin^{3}{\left(\frac{4}{5} \right)} + 1}\approx 2.340214753424868$$$
$$$f{\left(x_{5} \right)} = f{\left(1 \right)} = \sqrt{\sin^{3}{\left(1 \right)} + 1}\approx 1.263258974474734$$$
Tel ten slotte de bovenstaande waarden op en vermenigvuldig het resultaat met $$$\frac{\Delta x}{2} = \frac{1}{10}$$$: $$$\frac{1}{10} \left(1 + 2.007826067912793 + 2.058206972332648 + 2.17257446116512 + 2.340214753424868 + 1.263258974474734\right) = 1.084208122931016.$$$
Antwoord
$$$\int\limits_{0}^{1} \sqrt{\sin^{3}{\left(x \right)} + 1}\, dx\approx 1.084208122931016$$$A