|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Middelpuntregel-rekenmachine voor een functie
Benader een integraal (gegeven door een functie) met behulp van de middenpuntsregel stap voor stap
Een online rekenmachine om de bepaalde integraal te benaderen met behulp van de middenpuntsregel (midden-ordinaatregel), met getoonde stappen.
Gerelateerde rekenmachine: Middenpuntsregel-rekenmachine voor een tabel
Uw invoer
Benader de integraal $$$\int\limits_{1}^{3} \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}\, dx$$$ met $$$n = 4$$$ volgens de middenpuntsregel.
Oplossing
De midpoint rule (ook wel de middelpuntbenadering genoemd) gebruikt het midpoint van een subinterval om de hoogte van de benaderingsrechthoek te bepalen:
$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)}+\dots+f{\left(\frac{x_{n-2} + x_{n-1}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{n-1} + x_{n}}{2} \right)}\right)$$$
waarbij $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.
We hebben dat $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}$$$, $$$a = 1$$$, $$$b = 3$$$ en $$$n = 4$$$.
Daarom geldt $$$\Delta x = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$$$.
Verdeel het interval $$$\left[1, 3\right]$$$ in $$$n = 4$$$ deelintervallen van lengte $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$ met de volgende eindpunten: $$$a = 1$$$, $$$\frac{3}{2}$$$, $$$2$$$, $$$\frac{5}{2}$$$, $$$3 = b$$$.
Evalueer nu de functie op de midpunten van de deelintervallen.
$$$f{\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2} \right)} = f{\left(\frac{1 + \frac{3}{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{5}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{5}{4} \right)} + 7}\approx 2.794821922941848$$$
$$$f{\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{\frac{3}{2} + 2}{2} \right)} = f{\left(\frac{7}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{7}{4} \right)} + 7}\approx 2.817350905627184$$$
$$$f{\left(\frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)} = f{\left(\frac{2 + \frac{5}{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{9}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{9}{4} \right)} + 7}\approx 2.714130913751178$$$
$$$f{\left(\frac{x_{3} + x_{4}}{2} \right)} = f{\left(\frac{\frac{5}{2} + 3}{2} \right)} = f{\left(\frac{11}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{11}{4} \right)} + 7}\approx 2.649758163512828$$$
Tel ten slotte de bovenstaande waarden op en vermenigvuldig het resultaat met $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$: $$$\frac{1}{2} \left(2.794821922941848 + 2.817350905627184 + 2.714130913751178 + 2.649758163512828\right) = 5.488030952916519.$$$
Antwoord
$$$\int\limits_{1}^{3} \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}\, dx\approx 5.488030952916519$$$A