|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rekenmachine voor linker-eindpuntbenadering van een functie
Benader een integraal (gegeven door een functie) met behulp van de linker eindpunten stap voor stap
Een online rekenmachine om de bepaalde integraal te benaderen met behulp van de linker eindpunten (de linker Riemann-som), met stappen weergegeven.
Gerelateerde rekenmachine: Rekenmachine voor linker-eindpuntbenadering op basis van een tabel
Uw invoer
Benader de integraal $$$\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx$$$ met $$$n = 5$$$ met behulp van de linkereindpuntbenadering.
Oplossing
De linker Riemannsom (ook wel de benadering met het linker eindpunt genoemd) gebruikt het linker eindpunt van een subinterval om de hoogte van de benaderende rechthoek te berekenen:
$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{0} \right)} + f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-2} \right)} + f{\left(x_{n-1} \right)}\right)$$$
waarbij $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.
We hebben dat $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}$$$, $$$a = 0$$$, $$$b = 4$$$ en $$$n = 5$$$.
Daarom geldt $$$\Delta x = \frac{4 - 0}{5} = \frac{4}{5}$$$.
Verdeel het interval $$$\left[0, 4\right]$$$ in $$$n = 5$$$ deelintervallen van lengte $$$\Delta x = \frac{4}{5}$$$ met de volgende eindpunten: $$$a = 0$$$, $$$\frac{4}{5}$$$, $$$\frac{8}{5}$$$, $$$\frac{12}{5}$$$, $$$\frac{16}{5}$$$, $$$4 = b$$$.
Evalueer nu gewoon de functie op de linker eindpunten van de deelintervallen.
$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = \sqrt{3}\approx 1.732050807568877$$$
$$$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{4}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{4}{5} \right)} + 2}\approx 1.495196773630485$$$
$$$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(\frac{8}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{8}{5} \right)} + 2}\approx 1.414213819387789$$$
$$$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{12}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{12}{5} \right)} + 2}\approx 1.515144715776502$$$
$$$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(\frac{16}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{16}{5} \right)} + 2}\approx 1.730085700215823$$$
Tel ten slotte de bovenstaande waarden op en vermenigvuldig het resultaat met $$$\Delta x = \frac{4}{5}$$$: $$$\frac{4}{5} \left(1.732050807568877 + 1.495196773630485 + 1.414213819387789 + 1.515144715776502 + 1.730085700215823\right) = 6.309353453263581.$$$
Antwoord
$$$\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx\approx 6.309353453263581$$$A